Springen naar inhoud

Deelruimten van (R, R, +)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 16:57

"We zoeken de echte deelruimten van (R, R3, +). Zij U zo een echte deelruimte. Dan bevat U een vector v R3, met v ≠ 0. Omdat U een deelruimte is, geldt dat

W1 = {A.v | A R } ⊂ U.

W1 is zelf een deelruimte van R3. Wanneer we R3 voorstellen als de driedimensionale ruimte waarin we een assenstelsel gekozen hebben, komt deze deelruimte W1 overeen met de (vector)rechte door de oorsprong en v.
Als U ≠ W1, dan bestaat een vector u U, zodat u en v geen veelvoud zijn van elkaar. Dan is W2 = {A.u + B.w. | A, B R} een deelruimte van U (en van R3). Om dit te zien volstaat het te observeren dat een lineaire combinatie van lineaire combinaties van u en v nog steeds een lineaire combinatie van u en v is. Deze deelruimte W2 komt meetkundig overeen met het vlak door de oorsprong en de punten u en v; zo een vlak noemen we een vectorvlak.
Men kan aantonen dat, als U ≠ W2, dan U = R3. De enige echte deelruimten van R3 zijn derhalve gegeven door de vectorrechten en de vectorvlakken."


Vanaf een gegeven moment zeggen ze dat W1 een deelverzameling van U is en dat W1 een vector bevat die door de oorsprong gaat, akkoord ? Maar dan zeggen ze 'Als U ≠ W1'.. Waarom zeggen ze dit ? eerst zeggen ze nog dat dit een deelverzameling is ? :shock:
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 mei 2012 - 17:01

Een deelverzameling kan toch nog verschillend zijn? Eigenlijk bedoelen ze daarmee dat W1 een strikte deelverzameling is. Bijvoorbeeld: neem U de natuurlijke getallen. Neem W1 de even natuurlijke getallen. Dan is W1 een deelverzameling van U, maar toch zijn ze niet gelijk.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 17:05

Ah, zo bedoelen ze het; ok dat snap ik. :D
Maar hoe moet ik mij zo'n deelruimte van (R, R3, +) voorstellen ?
En waarom zeggen ze hier:

W1 = {A.v | A R} ⊂ U.

Dit snap ik ook niet helemaal ? Bij de vectorruimten in R2 zeggen ze dat lineaire combinaties, noem ze bv. V1, een element moeten zijn van de deelruimten; hier zeggen ze dat lineaire combinaties maar deelverzamelingen moeten zijn van de deelruimten ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 17:24

Maar hoe moet ik mij zo'n deelruimte van (R, R3, +) voorstellen ?


Je vertrekt van een vectorruimte (R, R³, +). Een deelverzameling D van R³ waarvoor geldt dat (R, D, +) zelf ook een vectorruimte vormt, heet een deelruimte. Laat dit even doordringen, dit is 'kort' maar 'belangrijk'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:04

Je vertrekt van een vectorruimte (R, R³, +). Een deelverzameling D van R³ waarvoor geldt dat (R, D, +) zelf ook een vectorruimte vormt, heet een deelruimte. Laat dit even doordringen, dit is 'kort' maar 'belangrijk'.


Ik denk dat ik dit snap, dit vormt opnieuw een vectorruimte en om te weten of dit een deelruimte moeten lineaire combinaties van de vectoren van D opnieuw elementen van D vormen, akoord ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:08

Ik denk dat ik dit snap, dit vormt opnieuw een vectorruimte


Dat is niet zeker... Het is niet omdat (R,R³,+) een vectorruimte vormt, dat voor een willekeurige deelverzameling D van R³ ook (R,D,+) een vectorruimte vormt. Slechts als dit wél zo is, noemen we D - naast sowieso deelverzameling van R³ - ook een deelruimte.

Zo is D = {(t,t,t) | t in R} een deelverzameling van R³ en vormt (R,D,+) bovendien een vectorruimte, we noemen D daarom ook een deelruimte (van R³). Maar E = {(0,0,0),(1,1,1),(2,0,0)} is geen deelruimte van R³, hoewel E duidelijk wel een deelverzameling is van R³.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:17

Dat is niet zeker... Het is niet omdat (R,R³,+) een vectorruimte vormt, dat voor een willekeurige deelverzameling D van R³ ook (R,D,+) een vectorruimte vormt. Slechts als dit wél zo is, noemen we D - naast sowieso deelverzameling van R³ - ook een deelruimte.

Zo is D = {(t,t,t) | t in R} een deelverzameling van R³ en vormt (R,D,+) bovendien een vectorruimte, we noemen D daarom ook een deelruimte (van R³). Maar E = {(0,0,0),(1,1,1),(2,0,0)} is geen deelruimte van R³, hoewel E duidelijk wel een deelverzameling is van R³.


Juist, mooi uitgelegd. :D Dit snap ik. Ik zou liefst het stukje van #1 nu stap voor stap ontleden hier (met behulp van u of anderen), als dat voor u goed is natuurlijk ?

Ze beginnen met: "We zoeken de echte deelruimten van (R, R3, +)." Hiermee bedoelen ze dus de deelruimten die voldoen aan de voorwaarden, behalve de triviale en de onechte deelruimte (nl. V en {0, 0, 0}).
"Zij U zo een echte deelruimte." Dit is nog duidelijk. "Dan bevat U een vector v R3 met v ≠ 0.Omdat U een deelruimte is geldt dat

W1 = {A.v | A R} ⊂ U."

Hier loopt het nog steeds mis. Waarom beginnen ze over vector v ? Vanwaar werken ze hier enkel met het scalair product en niet met de optelling ? En waarom het ⊂-teken en niet het -teken ?

Veranderd door Biesmansss, 28 mei 2012 - 18:21

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:21

Hier loopt het nog steeds mis. Waarom beginnen ze over vector v ? Vanwaar werken ze hier enkel met het scalair product en niet met de optelling ?

Dat is geen scalair product hoor. Dat is het product van een reëel getal met een vector uit R³. Dus A.v = A.(v1, v2, v3) = (Av1, Av2, Av3)...

En waarom het ⊂-teken en niet het -teken ?

Dat is omdat je W1 geen element van U is, maar een deelruimteverzameling van U. En dan gebruik je dat symbool...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:23

Hier loopt het nog steeds mis. Waarom beginnen ze over vector v ? Vanwaar werken ze hier enkel met het scalair product en niet met de optelling ? En waarom het ⊂-teken en niet het -teken ?


Om 'zinvol' op te tellen heb je twee (niet-nulle) vectoren nodig en je vertrekt van de veronderstelling van slechts één niet-nulle vector in U. Die kan je uiteraard bij zichzelf optellen, maar efficiënter is om onmiddellijk alle veelvouden te beschouwen. Opdat U een deelruimte zou zijn, moeten die er immers (minstens) in zitten.

Met andere woorden: voeg je aan de verzameling {(0,0,0)} één niet-nulle vector van R³ toe en wil je dat die nieuwe verzameling een deelruimte zal vormen, moet je er minstens ook alle veelvouden van die vector aan toevoegen.

Wat het teken betreft: W1 en U zijn verzamelingen van vectoren, die kunnen geen 'element van' elkaar zijn; deelverzameling is wel mogelijk.

Dat is omdat je W1 geen element van U is, maar een deelruimte van U. En dan gebruik je dat symbool...


Om verwarring te voorkomen: W1 is een deelverzameling van U, dat noteer je met W1 ⊂ U.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:36

Dat is geen scalair product hoor. Dat is het product van een reëel getal met een vector uit R³. Dus A.v = A.(v1, v2, v3) = (Av1, Av2, Av3)...


Klopt. Het is geen scalair product, maar in de cursus noemen ze de vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector een 'scalaire vermenigvuldiging' (vandaar ook dat ik me vergist heb). Feel free to correct me if i'm wrong. :D

Om 'zinvol' op te tellen heb je twee (niet-nulle) vectoren nodig en je vertrekt van de veronderstelling van slechts één niet-nulle vector in U. Die kan je uiteraard bij zichzelf optellen, maar efficiënter is om onmiddellijk alle veelvouden te beschouwen. Opdat U een deelruimte zou zijn, moeten die er immers (minstens) in zitten.

Met andere woorden: voeg je aan de verzameling {(0,0,0)} één niet-nulle vector van R³ toe en wil je dat die nieuwe verzameling een deelruimte zal vormen, moet je er minstens ook alle veelvouden van die vector aan toevoegen.

Wat het teken betreft: W1 en U zijn verzamelingen van vectoren, die kunnen geen 'element van' elkaar zijn; deelverzameling is wel mogelijk.



Om verwarring te voorkomen: W1 is een deelverzameling van U, dat noteer je met W1 ⊂ U.



Juist, duidelijk; m.a.w. W1 is gewoon de verzameling van vectoren die veelvouden zijn van v, akkoord ? "W1 is zelf een deelruimte van R3. Wanneer we R3 voorstellen als de driedimensionale ruimte waarin we een assenstelsel gekozen hebben, komt deze deelruimte W1 overeen met de (vector)rechte door de oorsprong en v."Dit is mij nu vrij duidelijk, het is triviaal dat W1 overeenkomst met v (aangezien dit hier een veelvoud van is) en het is ook vrij triviaal dat deze door de oorsprong gaat. "Als U ≠ W1, dan bestaat een vector u U, zodat u en v geen veelvoud zijn van elkaar. Dan is W2 = {A.u + B.v. | A, B R} een deelruimte van U (en van R3)."
Dat W2 een deelruimte is van U is vrij triviaal omdat zowel u als v deelruimte zijn van U, akkoord ? En aangezien het een deelruimte is van U, die dan weer een deelruimte is van R3; is W2 ook een deelruimte van R3. Akkoord dusver ?

Veranderd door Biesmansss, 28 mei 2012 - 18:36

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:43

Juist, duidelijk; m.a.w. W1 is gewoon de verzameling van vectoren die veelvouden zijn van v, akkoord ? "W1 is zelf een deelruimte van R3. Wanneer we R3 voorstellen als de driedimensionale ruimte waarin we een assenstelsel gekozen hebben, komt deze deelruimte W1 overeen met de (vector)rechte door de oorsprong en v."Dit is mij nu vrij duidelijk, het is triviaal dat W1 overeenkomst met v (aangezien dit hier een veelvoud van is) en het is ook vrij triviaal dat deze door de oorsprong gaat.


Wat bedoel je met 'W1 overeenstemt met v'? Dat klinkt wat vaag. W1 bevat v en alle veelvouden van v; dat zijn precies alle punten in R³ die op de rechte door de oorsprong en v liggen.

"Als U ≠ W1, dan bestaat een vector u U, zodat u en v geen veelvoud zijn van elkaar. Dan is W2 = {A.u + B.v. | A, B R} een deelruimte van U (en van R3)."
Dat W2 een deelruimte is van U is vrij triviaal omdat zowel u als v deelruimte zijn van U, akkoord ?


Nee, 'u en v' (losse vectoren!) zijn geen deelruimten...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 18:54

Wat bedoel je met 'W1 overeenstemt met v'? Dat klinkt wat vaag. W1 bevat v en alle veelvouden van v; dat zijn precies alle punten in R³ die op de rechte door de oorsprong en v liggen.


Dit is exact wat ik bedoel, maar in het tekstje gebruiken ze "overeenkomen met...".

Nee, 'u en v' (losse vectoren!) zijn geen deelruimten...


Juist, maar W1 is wel een deelruimte omdat dit alle veelvouden bevat ? En sommen van veelvouden zijn opnieuw veelvouden dus voldoet W1 aan alle voorwaarden om een deelruimte van U te zijn. Dit terzijde, u en v zijn losse vectoren, maar ze liggen wel in U, daarom dat we mogen besluiten dat W2 een deelruimte is van U als deze aan de voorwaarden voldoet, akkoord ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 19:08

Dit is exact wat ik bedoel, maar in het tekstje gebruiken ze "overeenkomen met...".


Er staat niet overeenkomen met v, maar met de rechte door v!

Juist, maar W1 is wel een deelruimte omdat dit alle veelvouden bevat ? En sommen van veelvouden zijn opnieuw veelvouden dus voldoet W1 aan alle voorwaarden om een deelruimte van U te zijn. Dit terzijde, u en v zijn losse vectoren, maar ze liggen wel in U, daarom dat we mogen besluiten dat W2 een deelruimte is van U als deze aan de voorwaarden voldoet, akkoord ?


Dit komt niet helemaal helder over.

Je vult W1 met alle veelvouden van één niet-nulle vector v, dit is een deelruimte van R³. Meetkundig is het ...

Als je daarnaast nog een vector u toevoegt die niet tot W1 behoort, zul je alle vectoren van de vorm Au+Bv in die verzameling moeten steken opdat het nog een deelruimte is. Meetkundig heb je dan een ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 19:21

Er staat niet overeenkomen met v, maar met de rechte door v!



Dit komt niet helemaal helder over.

Je vult W1 met alle veelvouden van één niet-nulle vector v, dit is een deelruimte van R³. Meetkundig is het ...

Als je daarnaast nog een vector u toevoegt die niet tot W1 behoort, zul je alle vectoren van de vorm Au+Bv in die verzameling moeten steken opdat het nog een deelruimte is. Meetkundig heb je dan een ...


W1 is meetkundig een rechte ?

alle vectoren van de vorm A.u + B.v vormen meetkundig een vlak ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 21:02

W1 is meetkundig een rechte ?


Specifieker: niet zomaar een rechte, maar...

alle vectoren van de vorm A.u + B.v vormen meetkundig een vlak ?


Ja, maar zelfde opmerking als hierboven. Dat is wel belangrijk, voor een 'deelruimte'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures