Springen naar inhoud

Oefeningen i.v.m. deelruimtes



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 19:18

Ik heb werkelijk geen idee hoe aan de volgende oefeningen te beginnen. Iemand die me op weg kan helpen ?

1) De verzameling Riconv van de convergente rijen vormt een deelruimte van de vectorruimte (R, Ri, +) van alle rijen. Noteer met R0 de rijen met limiet 0. Ga na dat R0 een deelruimte is van Riconv.

2) Voor alle k N is CK + 1® een deelruimte van Ck ®. Waarom ?

3) Beschouw de verzameling van alle rijen (Yn)n ∈ N in R die voldoen aan de recursiebetrekking

yn + 2 = yn+1 + yn voor alle n N.

Ga na dat deze verzameling een deelruimte is van Ri.

4) Beschouw de verzameling van alle functies f van R naar R die continue afgeleiden hebben minstens tot de tweede orde en die voldoen aan

f''(x) + f(x) = 0 voor alle x R.

Ga na dat deze verzameling een deelruimte is van C2 ®.

5) Beschouw in R2 de deelverzameling D = {(1, 2)}. Zoek de kleinste deelruimte van R2 waar D een deel van is.

6) Beschouw in R2 de deelverzameling D = {(1, 0), (1, 1)}. Zoek de kleinste deelruimte van R2 waar D een deel van is.

7) Beschouw in R3 de deelverzameling D = {(1, 0, 0), (1, 0, 2)}. Toon aan dat de kleinste deelruimte van R3 waar D in zit gegeven is door {(x, 0, y) | x, y ∈ R}.

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 21:01

Gegeven een vectorruimte V en een deelverzameling D van V. D is een deelruimte van V als:
1) D niet-leeg is,
2) voor alle vectoren u en v in D en voor alle scalairen A en B, ook Au+Bv in D zit.

Aangezien een vectorruimte steeds de nulvector moet bevatten is die eerste voorwaarde handig te controleren door na te gaan of de 'nulvector' (wat dat is, hangt van de vectorruimte af!) in D zit.

Voor 1: zit de 'nulvector' (= de nulrij in dit geval!) in R0? Zo ja, controleer voorwaarde twee.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 08:15

1)

De nulrij behoort effectief tot R0 (= de rijen met limiet nul), want de limiet van de nulrij is sowieso nul.

Beschouw nu de volgende rekenregels i.v.m. limieten van rijen:

Lim(a + b) = Lim a + Lim b.
Lim A.a = A.Lim a (met A R).

Hieruit volgt onmiddelijk dat deze verzameling ook voldoet aan voorwaarde 2. Waardoor het effectief een deelruimte is.


2)

Wat bedoelen ze hier juist ?

3)

Beschouw nu twee willekeurige rijen in de verzameling yn, we gaan eerst na of de nulrij hier toe behoort.
We zien dat de nulrij effectief voldoet aan de voorwaarde 'yn + 2 = yn+1 + yn voor alle n N', (want 0 = 0 + 0).

Neem nu twee willekeurige rijen die voldoen aan 'yn + 2 = yn+1 + yn voor alle n N':

a) (yn)n N = yn + 2 = yn+1 + yn voor alle n N.
b) (xn)n N = xn + 2 = xn+1 + xn voor alle n N.

A.(yn)n N + B.(xn)n N = A.yn+1 + A.yn + B.xn+1 + B.xn

We zien dat dit opnieuw een rij zal vormen die voldoet aan 'yn + 2 = yn+1 + yn voor alle n N'.
Dus het betreft effectief een deelruimte.

4)

We beschouwen eerst de constante functie f(x) = 0. Deze heeft inderdaad een continue afgeleide tot de tweede orde nl. f''(x) = 0.

Beschouw nu twee willekeurige functies die voldoen aan f''(x) + f(x) = 0:

a) f''(x) + f(x) = 0
b) g''(x) + g(x) = 0

En nu ?

Veranderd door Biesmansss, 29 mei 2012 - 08:29

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 mei 2012 - 08:21

1 klopt. Voor 2: normaliter bedoelt men met die notatie de continue functies van R naar R die k+1, respectievelijk, k keren continu afleidbaar zijn. Lukt het dan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 08:30

2)

De constante functie f(x) = 0, behoort effectief tot de verzameling Ck ®, de afgeleiden van deze functie zijn altijd continu, nl. f(x) = 0, f'(x) = 0, f''(x) = 0, ..., fn(x) = 0 (met n N0). We zien dus dat aan de eerste voorwaarde al voldaan is

Nu moeten we nog checken of ook aan de tweede voorwaarde is voldaan; hoe ?

5) Ik vermoed dat dit de vectorrechte gaat zijn door het punt (1, 2) ?

Veranderd door Biesmansss, 29 mei 2012 - 08:41

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 mei 2012 - 08:49

We zullen eerst 2) bekijken? Ik begrijp niet goed wat je wilt bewijzen... Je moet bewijzen dat Ck+1 een deelruimte is van Ck. Daarvoor moet natuurlijk eerst nagegaan worden of het steek houdt om hier van deelruimte te spreken. Impliciet staat dat ook in de post van TD: je kandidaat-deelruimte moet een deelverzameling zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 mei 2012 - 08:50

2)
De constante functie f(x) = 0, behoort effectief tot de verzameling Ck ®, de afgeleiden van deze functie zijn altijd continu, nl. f(x) = 0, f'(x) = 0, f''(x) = 0, ..., fn(x) = 0 (met n N0). We zien dus dat aan de eerste voorwaarde al voldaan is

Nu moeten we nog checken of ook aan de tweede voorwaarde is voldaan; hoe ?


Om te beginnen is het een deelverzameling (dat heb je al nodig) want elke functie die k+1 keer (continu) afleidbaar is, is dat zeker ook k keer. Nu rest nog de vraag of lineaire combinatie binnen de verzameling blijven: wat weet je van continue/afleidbare functies en sommen/veelvouden daarvan?

Edit: goed teken, we zeggen hetzelfde ;).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:05

De sommen en veelvouden van continue functies zijn opnieuw continue functies ? Maar wat is hier net de rol van de afgeleiden ? Waarom moeten deze continue zijn ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:08

Dat is gewoon de betekenis van die verzamelingen Ck. Maar ook sommen en veelvouden van afleidbare functies blijven afleidbaar...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:17

Aha, dus hier volstaat het gewoon om te zeggen. Aangezien de functies Ck+1 afleidbaar zijn, zijn ze zeker Ck keer afleidbaar en behoren ze dus tot Ck ? Maar om dan echt te zeggen het is een deelruimte van Ck... ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:22

Een beetje zorgvuldiger formuleren: ze zijn niet 'Ck' keer afleidbaar (Ck is geen getal...), ze zijn k keer afleidbaar, en die k-de afgeleide is continu, en daarom zitten ze in Ck.

Zo kan je eenvoudig zien dat Ck+1 een deelverzameling is van Ck; voor deelruimte moet je de vorige redenering nog gebruiken (continuïteit en afleidbaarheid blijft behouden bij sommen en veelvouden).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:37

Een beetje zorgvuldiger formuleren: ze zijn niet 'Ck' keer afleidbaar (Ck is geen getal...), ze zijn k keer afleidbaar, en die k-de afgeleide is continu, en daarom zitten ze in Ck.

Zo kan je eenvoudig zien dat Ck+1 een deelverzameling is van Ck; voor deelruimte moet je de vorige redenering nog gebruiken (continuïteit en afleidbaarheid blijft behouden bij sommen en veelvouden).


Dus voor de volgende redenering moeten we eerst na gaan of de nulvector ook tot Ck + 1 behoort ? En dit is het geval aangezien de nde afgeleide van de nulvector (met n N0) fn(x) = 0 en dus continu is, hieruit volgt onmiddelijk dat fk + 1(x) = 0.

Vervolgens moeten we nagaan of sommen en veelvouden van functies uit Ck + 1 opnieuw functies vormen die elementen zijn van Ck + 1 en dus ook van Ck. Omdat we weten dat continuïteit en afleidbaarheid blijft behouden bij sommen en veelvouden is het gemakkelijk in te zien dat dit effectief het geval is.

Is het zo correct ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:41

Zoiets ja: Ck+1 is duidelijk een deelverzameling van Ck en aangezien afleidbaarheid en continuïteit (van die afgeleide) behouden blijven bij sommen en veelvouden, vormt Ck+1 een deelruimte van Ck. Dit heeft maar zin als Ck zelf een vectorruimte vormt (of anders gezegd, een deelruimte van de voorgaande), dus het is in principe wel nog handig om na te gaan of de 'eerste' uit die rij een vectorruimte vormt. Maar ook dat is duidelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:51

Zullen we dan nu eerst even (1) overlopen ?

1)

Het is eenvoudig in te zien dat R0 (= de rijen met limiet 0) een deelverzameling vormt van de convergerende rijen; om na te gaan of R0 nu ook nog effectief een deelruimte is moeten we twee voorwaarden controleren:

1) De nulrij behoort effectief tot R0 (= de rijen met limiet nul); want de limiet van de nulrij is sowieso nul.

2 ) Beschouw nu de volgende rekenregels i.v.m. limieten van rijen:

Lim(a + b) = Lim a + Lim b.
Lim A.a = A.Lim a (met A R).

Kies twee willekeurige rijen a en b, die beiden naar 0 convergeren. Uit de rekenregels volgt dat:

Lim(a + b) = Lim a + lim b = 0 + 0 = 0. Dus de sommen behoren effectief terug tot de verzameling R0.
Lim A.a = A.lim a = A.0 = 0. Dus de producten behoren effectief terug tot de verzameling R0.

Hieruit volgt onmiddellijk dat deze verzameling ook voldoet aan voorwaarde 2. Waardoor het effectief een deelruimte is van Riconv
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 mei 2012 - 09:55

Prima (ik zou wel spreken van scalaire veelvouden in plaats van producten; het is geen product van rijen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures