Zijn volgende deelverzamelingen van de vectorruimte van de functies van R naar R deelvectorruimten ?
a) U = { f: R -> R | f(5) = 0 }
b) U = { f: R -> R | f is begrensd }
c) U = { f: R -> R | f(0) = f(1) }
d) U = { f: R -> R | f(-x) = f(x) }
e) U = { f: R -> R | f heeft continue 2de afgeleide }
Nu vraag ik mij bij de meeste af hoe ik deze effectief bewijs. Het is triviaal dat we telkens controleren of ze voldoen aan de twee voorwaarden voor deelruimten:
1) Behoort de nulvector ertoe ? In dit geval de functie f(x) = 0
2) Voldoen ze aan: A.u + B.v ⊂ U
a)
1) Neem de continue functie 0, dan is f(5) = 0. Dus de nulvector behoort tot deze deelverzameling.
2) Veronderstel nu dat we twee functies hebben die voldoen aan de voorwaarde 'f(5) = 0', noem deze functies g en h.
Nu moeten we aantonen dat v = A.g + B.h ⊂ U
v(5) = A.g(5) + B.h(5) = A.0 + B.0 = 0
=> Voldoet aan voorwaarde 1 en 2, dus is een deelruimte
b)
1) Neem de continue functie 0, het is triviaal dat de Lim 0 = 0, dus deze functie is begrensd.
2) Veronderstel nu dat we twee funcites hebben die begrensd zijn, dan weten we dat voor alle x ∈ R geldt dat g(x) < |M| en h(x) < |N|
Stel nu v = A.g(x) + B.h(x)
We weten dat voor alle x ∈ R geldt dat
v < A.|M| + B.|N|
Maar nu loopt het mis, wat als A en B bv. negatief zijn ? Dan toont dit toch niet aan dat v begrensd is ?
Laatste berichten
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Je absolute waardes staan wat mis: |g(x)| < M en |h(x)| < N is beter (met M en N uiteraard positief). Je moet nu bewijzen dat er een K bestaat zodat |v(x)| < K.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Inderdaad, dat ik me daarin vergist heb.
2) Veronderstel nu dat we twee funcites hebben die begrensd zijn, dan weten we dat voor alle x ∈ R geldt dat |g(x)| < M en |h(x)| < N
Stel nu v = A.g(x) + B.h(x)
We weten dat voor alle x ∈ R geldt dat
|v| = |A.M + B.N| ≤ |A.M| + |B.N|
Wat equivalent is met:
-(|A.M| + |B.N|) ≤ v ≤ |A.M| + |B.N|
Waaruit volgt dat v opnieuw begrensd is.
c) U = { f: R -> R | f(0) = f(1) }
1) Het is triviaal dat f(x) = 0 tot deze verzameling behoort.
Klopt het dat deze triviale deelruimte de enige oplossing is ? Want andere constanten gaan niet meer door
(0, 0).
2) Veronderstel nu dat we twee funcites hebben die begrensd zijn, dan weten we dat voor alle x ∈ R geldt dat |g(x)| < M en |h(x)| < N
Stel nu v = A.g(x) + B.h(x)
We weten dat voor alle x ∈ R geldt dat
|v| = |A.M + B.N| ≤ |A.M| + |B.N|
Wat equivalent is met:
-(|A.M| + |B.N|) ≤ v ≤ |A.M| + |B.N|
Waaruit volgt dat v opnieuw begrensd is.
c) U = { f: R -> R | f(0) = f(1) }
1) Het is triviaal dat f(x) = 0 tot deze verzameling behoort.
Klopt het dat deze triviale deelruimte de enige oplossing is ? Want andere constanten gaan niet meer door
(0, 0).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Die stap met "dit is equivalent met" is overbodig (en ontbreekt een minteken?), want |v| < K betekent per definitie dat v begrensd is.
Bij 3) dan. De vraag is nu dus of (A f + B g)(0) = (A f + B g)(1) als je weet dat f(0) = f(1) en g(0) = g(1). Begin dus gewoon te rekenen?
Bij 3) dan. De vraag is nu dus of (A f + B g)(0) = (A f + B g)(1) als je weet dat f(0) = f(1) en g(0) = g(1). Begin dus gewoon te rekenen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Inderdaad, ik heb dit even aangepast door haakjes te zetten.
Dus (3) dan:
(A f + B g)(0)
= A.f(0) + B.g(0) = A.f(1) + B.g(1)
Waardoor dit opnieuw tot deze verzameling behoort ? Maar hoe zit het met mijn vraag dat f(x) = 0 de enige vectorrechte is die hieraan voldoet ?
Dus (3) dan:
(A f + B g)(0)
= A.f(0) + B.g(0) = A.f(1) + B.g(1)
Waardoor dit opnieuw tot deze verzameling behoort ? Maar hoe zit het met mijn vraag dat f(x) = 0 de enige vectorrechte is die hieraan voldoet ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Waarom denk je dat? Omdat je geen andere f kunt vinden, of...? Je berekening klopt btw.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Ik denk dat omdat als ik het mij visueel probeer voor te stellen, het gaat om rechten; als deze rechten als 'deelruimten' beschouwd mogen worden moeten ze door de oorsprong gaan. Dan liggen meteen twee punten vast f(0) = 0 en f(1) = 0. Dus de enige rechte die hierdoor kan gaan is deze door de oorsprong, akkoord ?Drieske schreef: ↑di 29 mei 2012, 21:40
Waarom denk je dat? Omdat je geen andere f kunt vinden, of...? Je berekening klopt btw.
Of zou de triviale deelruimte hier misschien ook aan voldoen ? nl. R2 zelf ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Nee, niet echt akkoord. Je denkt te fel aan echte vectoren. f(x) = 4, voldoet? Parabolen met symmetrie-as x=1/2, voldoen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Ben ik nu meerdere dingen door elkaar aan het halen ?
f(x) = 4 en deze parabool voldoen inderdaad aan de voorwaarden; en ze moeten helemaal niet door het nulpunt gaan, akkoord ? Het is genoeg als de 'nulvector' in dit geval f(x) = 0 ook tot deze verzameling behoort.
f(x) = 4 en deze parabool voldoen inderdaad aan de voorwaarden; en ze moeten helemaal niet door het nulpunt gaan, akkoord ? Het is genoeg als de 'nulvector' in dit geval f(x) = 0 ook tot deze verzameling behoort.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Okee 
. Dan zijn we terug akkoord. Overigens kun je ook aan "zottere" functies denken. Bijvoorbeeld goniometrische functies, sin en cos, met een periode van 1, 1/2, 1/3, ....
. Dan zijn we terug akkoord. Overigens kun je ook aan "zottere" functies denken. Bijvoorbeeld goniometrische functies, sin en cos, met een periode van 1, 1/2, 1/3, ....Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Ja, klopt!
Nog snel even ( c) en (d) overlopen ?
d) U = { f: R -> R | f(-x) = f(x) }
1) f(x) = 0, behoort hiertoe.
2) (A.f + B.g)(x) = A.f(x) + B.g(x) = A.f(-x) + B.g(-x) = (A.f + B.g)(-x)
Dus de voorwaarde van vermenigvuldiging en sommatie is voldaan, correct ? (is eens iets ander dan altijd 'Akkoord ?'
)
e) U = { f: R -> R | f heeft continue 2de afgeleide }
1) Triviaal is dat de functie f(x) = 0 hiertoe behoort aangezien fn(x) = 0 (met n ∈ N).
2) Dit is eenvoudig te bewijzen omdat de orde bij vermenigvuldigen en sommeren op limieten van rijen behouden blijft.
Nog snel even ( c) en (d) overlopen ?
d) U = { f: R -> R | f(-x) = f(x) }
1) f(x) = 0, behoort hiertoe.
2) (A.f + B.g)(x) = A.f(x) + B.g(x) = A.f(-x) + B.g(-x) = (A.f + B.g)(-x)
Dus de voorwaarde van vermenigvuldiging en sommatie is voldaan, correct ? (is eens iets ander dan altijd 'Akkoord ?'
)e) U = { f: R -> R | f heeft continue 2de afgeleide }
1) Triviaal is dat de functie f(x) = 0 hiertoe behoort aangezien fn(x) = 0 (met n ∈ N).
2) Dit is eenvoudig te bewijzen omdat de orde bij vermenigvuldigen en sommeren op limieten van rijen behouden blijft.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Klopt. Nog een "leuke" {f: R -> R | f(1)f(5) = 0}. Is dit een deelruimte?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Drieske schreef: ↑wo 30 mei 2012, 09:15
Klopt. Nog een "leuke" {f: R -> R | f(1)f(5) = 0}. Is dit een deelruimte?
Aangezien ik bij de 2de voorwaarde blijf zitten met 'A.B(f(1).g(5) + f(5).g(1)' zou ik zeggen dat dit geen deelruimte is; maar ik heb een sterk vermoeden dat je hier een trucje voor achter de hand hebt.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Geen trucje 
. Het is inderdaad geen deelruimte. Dus moet je een tegenvoorbeeld zoeken...
. Het is inderdaad geen deelruimte. Dus moet je een tegenvoorbeeld zoeken...Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m. deelvectoruimten
Ha, is niet zo moeilijk volgens mij:
Neem de volgende twee functies:
f(x) = x6 - 1 -> f(1) = 0 dus f(1).f(5) = 0.f(5) = 0
g(x) = x - 5 -> f(5) = 0 dus f(1).f(5) = f(1). 0 = 0
(f + g)(x) = x6 -1 + x - 5 = x6 + x - 6
f(1) = -4 en f(5) = 2605 dus f(1).f(5) = -4.2605 = -10420 ≠ 0
Akkoord ?
Neem de volgende twee functies:
f(x) = x6 - 1 -> f(1) = 0 dus f(1).f(5) = 0.f(5) = 0
g(x) = x - 5 -> f(5) = 0 dus f(1).f(5) = f(1). 0 = 0
(f + g)(x) = x6 -1 + x - 5 = x6 + x - 6
f(1) = -4 en f(5) = 2605 dus f(1).f(5) = -4.2605 = -10420 ≠ 0
Akkoord ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
