Springen naar inhoud

voortbrengen van deelruimten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 17:22

"Toon aan dat de vectoren (1, 2, 3) en (4, 5, 6) dezelfde deelruimte van (R, R3, +) voorbrengen als de vectoren (2, 1, 0) en (1, 1 ,1)."

Iemand een idee hoe ik dit moet doen ?

Ik dacht er oorspronkelijk aan om te kijken of het stelsel:

A.(1, 2 ,3) + B.(4, 5, 6) - C.(2, 1, 0) - D.(1, 1, 1) = 0 Nog andere oplossingen bevat dan A, B, C, D = 0.Maar hiermee kom ik niets uit.

Veranderd door Biesmansss, 29 mei 2012 - 17:28

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 mei 2012 - 17:41

De voortgebrachte ruimte door de vectoren (1,2,3) en (4,5,6) is {a(1,2,3)+b(4,5,6) | a,b in R}. De voortgebrachte ruimte door die andere vectoren is ... Zijn die verzamelingen gelijk; bevatten ze precies dezelfde vectoren? Hoe kan je dat uitdrukken?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 18:57

"Toon aan dat de vectoren (1, 2, 3) en (4, 5, 6) dezelfde deelruimte van (R, R3, +) voorbrengen als de vectoren (2, 1, 0) en (1, 1 ,1)."

Iemand een idee hoe ik dit moet doen ?

Ik dacht er oorspronkelijk aan om te kijken of het stelsel:

A.(1, 2 ,3) + B.(4, 5, 6) - C.(2, 1, 0) - D.(1, 1, 1) = 0 Nog andere oplossingen bevat dan A, B, C, D = 0.Maar hiermee kom ik niets uit.


Nee dat werkt niet je moet die twee vectoren een voor een pakken.

Dus:

Kijk of: A.(1, 2 ,3) + B.(4, 5, 6) + C.(2, 1, 0) = 0 een niet triviale oplossing heeft.
Kijk of: A.(1, 2 ,3) + B.(4, 5, 6) + D.(1, 1, 1) = 0 een niet triviale oplossing heeft.

En zijn (2,1,0) en (1,1,1) onafhankelijk.

Is dat zo dan spannen ze de zelfde ruimte op.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 19:52

De voortgebrachte ruimte door de vectoren (1,2,3) en (4,5,6) is {a(1,2,3)+b(4,5,6) | a,b in R}. De voortgebrachte ruimte door die andere vectoren is ... Zijn die verzamelingen gelijk; bevatten ze precies dezelfde vectoren? Hoe kan je dat uitdrukken?


De voortgebrachte ruimte door die andere vectoren is { c.(2,1,0) + d.(4, 5, 6) | c,d in R }. Het is al gegeven dat ze dezelfde deelruimte voortbrengen; maar hoe controleer ik dit ? En hoe toon ik dit aan ?

Nee dat werkt niet je moet die twee vectoren een voor een pakken.

Dus:

Kijk of: A.(1, 2 ,3) + B.(4, 5, 6) + C.(2, 1, 0) = 0 een niet triviale oplossing heeft.
Kijk of: A.(1, 2 ,3) + B.(4, 5, 6) + D.(1, 1, 1) = 0 een niet triviale oplossing heeft.

En zijn (2,1,0) en (1,1,1) onafhankelijk.

Is dat zo dan spannen ze de zelfde ruimte op.


Dan kan ik inderdaad deze stelsel oplossen; maar welke denkwijze zit er achter deze methode ? Ik zit met twee stelsels die hetzelfde voortbrengen. Dus ik zou denken; ik kies willekeurige oplossingen van de eerste twee vectoren en wil dan aantonen dat deze ook in de deelruimten,e opgezet door de andere twee vectoren, zitten en vice versa. Dan heb ik aangetoond dat ze identieke deelruimten opzetten.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 20:16

Als je een basis hebt van een liniaire 2-dim ruimte LaTeX
Dan betekent dat elke vector in deze ruimte een liniaire combinatie is van deze twee basis vectoren.

Maar deze liniaire ruimte kan door meer basissen worden vastgelegd bv: LaTeX

Er is echter een relatie tusen die twee basissen, de basis vectoren van de ene basis moeten een liniaire combinatie zijn van de andere basis vectoren.

Dan en slechts dan spannen ze de zelfde ruimte op.

Veranderd door tempelier, 29 mei 2012 - 20:17

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 20:37

Als je een basis hebt van een liniaire 2-dim ruimte LaTeX


Dan betekent dat elke vector in deze ruimte een liniaire combinatie is van deze twee basis vectoren.

Maar deze liniaire ruimte kan door meer basissen worden vastgelegd bv: LaTeX

Er is echter een relatie tusen die twee basissen, de basis vectoren van de ene basis moeten een liniaire combinatie zijn van de andere basis vectoren.

Dan en slechts dan spannen ze de zelfde ruimte op.


Aha, ik begin te snappen waar je op doelt. Er is een deel in mijn cursus nl. "Lineaire (on)afhankelijkheid. Basis en dimensie", waar ik net aan ga beginnen. Dus ik heb een sterk vermoeden dat jouw methode hier pas in wordt gebruikt.
Aangezien dit stukje daarvoor staat vermoed ik dat het ook moet kunnen met wat ik tot nu toe gezien heb ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#7

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2012 - 20:44

Aha, ik begin te snappen waar je op doelt. Er is een deel in mijn cursus nl. "Lineaire (on)afhankelijkheid. Basis en dimensie", waar ik net aan ga beginnen. Dus ik heb een sterk vermoeden dat jouw methode hier pas in wordt gebruikt.
Aangezien dit stukje daarvoor staat vermoed ik dat het ook moet kunnen met wat ik tot nu toe gezien heb ?


Ja maak een algemene vector uit de eerste-basis en laat dan zien dat deze algemene vector ook een linaire combinatie is van de andere basis.

PS. Een echte scherpslijper zal ook het omgekeerde eisen.

Veranderd door tempelier, 29 mei 2012 - 20:45

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 mei 2012 - 23:17

De voortgebrachte ruimte door die andere vectoren is { c.(2,1,0) + d.(4, 5, 6) | c,d in R }. Het is al gegeven dat ze dezelfde deelruimte voortbrengen; maar hoe controleer ik dit ? En hoe toon ik dit aan ?


Door te tonen dat voor elke vector uit de eerste (a en b liggen vast), er c en d bestaan zodat je dezelfde vector vindt; en omgekeerd: a(1,2,3)+b(4,5,6) = c(2,1,0) + d(4, 5, 6) vormt immers een stelsel van drie vergelijkingen, je kan dit oplossen naar a en b (in functie van c en d) en omgekeerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 08:04

Ja maak een algemene vector uit de eerste-basis en laat dan zien dat deze algemene vector ook een linaire combinatie is van de andere basis.

PS. Een echte scherpslijper zal ook het omgekeerde eisen.


Ja, dit snap ik. :D

Door te tonen dat voor elke vector uit de eerste (a en b liggen vast), er c en d bestaan zodat je dezelfde vector vindt; en omgekeerd: a(1,2,3)+b(4,5,6) = c(2,1,0) + d(4, 5, 6) vormt immers een stelsel van drie vergelijkingen, je kan dit oplossen naar a en b (in functie van c en d) en omgekeerd.


Welke drie vergelijkingen vind je dan in 1 stelsel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 08:54

Ja, dit snap ik. :D


Ik was er hier vergeten bij te zetten: "maar hoe doe je dit dan effectief ?" Een stelsel opstellen met wat ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 09:17

LaTeX

Geeft:

LaTeX

Enz.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#12

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 09:32

Dus zo:

LaTeX
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 09:41

Ja, het is me gelukt om dit stelsel op te lossen en dan kom ik het volgende uit:

a = -2.c - (1/3).d
b = c + (1/3).d

Dus dan kan ik de eerste twee vectoren schrijven als:
c.(4, 5, 6) - 2c.(1, 2, 3) + (d/3).(1, 2, 3) - (d/3).(1, 2, 3) = c.(2, 1, 0) + d.(1, 1, 1)

En dat is dan de eerste oplossing ?

Nu kan ik hetzelfde doen voor het tweede stel vectoren, en als dit dan ook weer een oplossing heeft volgt hieruit dat ze dezelfde vector ruimtes opspannen.

Veranderd door Biesmansss, 30 mei 2012 - 09:42

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 10:25

Ik neem even aan dat er geen reken fout in zit.

Dan heb je aangetoond dat elke liniaire combinatie van (2 , 1 , 0) en ( 1 , 1 ,1 ) ook door de oorspronkelijke basis kan worden voortgebracht.

Door te zoeken naar een andere oplossing van c= en d= toon je dan het omgekeerde aan.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 10:39

Ja, het is me gelukt om dit stelsel op te lossen en dan kom ik het volgende uit:

a = -2.c - (1/3).d
b = c + (1/3).d


Hiermee heb je getoond dat elke vector die geschreven is als lineaire combinatie van de vectoren uit de tweede verzameling (met coëfficiënten c en d), ook geschreven kan worden als lineaire combinatie van de vectoren uit de eerste verzameling (a en b volgen uit de verbanden hierboven).

Als je ook het omgekeerde hebt, dan weet je dat welke vector voortgebracht door het ene paar vectoren, ook door het andere paar wordt voortgebracht en vice versa.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures