Springen naar inhoud

Oefening i.v.m. niet-homogeen stelsel A.X = B



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 13:50

"Beschouw een niet-homogeen stelsel AX = B met m vergelijkingen en n onbekenden. Noteer de n kilommen van A met A1, A2, ..., An en beschouw die kolommen als elementen van Rm. Toon aan dat het stelsel oplosbaar is als en slechts als B ∈ vct{A1, A2, ..., An}."

Dus we moeten aantonen dat B een oplossing is als en slechts als deze een element is van de deelruimte voortgebracht door de verschillende elementen van Rm.

We weten dat wanneer B geen element is van deze deelruimte, we dan B niet kunnen vormen met lineaire combinaties van de vectoren uit A en dat we dus B in feite 'niet kunnen bereiken', akkoord ?
Maar hoe tonen we dit effectief aan ? Opnieuw een bewijs uit het ongerijmde ?

Dus stel dat B geen element is van deze deelruimte, maar dat dit wel een oplossing zou vormen van dit stelsel.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 13:57

Een oplossing van het stelsel is van de vorm (x1,x2,...,xn), en dit is een oplossing als

LaTeX

Links staat een lineaire combinatie van de A's, de coëfficiënten zijn de x'en.

Het lijkt me triviaal...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 13:59

Een oplossing van het stelsel is van de vorm (x1,x2,...,xn), en dit is een oplossing als

LaTeX



Links staat een lineaire combinatie van de A's, de coëfficiënten zijn de x'en.

Het lijkt me triviaal...


Ja, als je het zo zegt wilt dit gewoon zeggen dat B opnieuw een lineaire combinatie moet zijn van de vectoren en dus per definitie een element van de deelruimte.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:01

Wel ja, specieker dan 'de deelruimte' (welke?): de verzameling die door de A's wordt voortgebracht.

Het stelsel heeft een oplossing als B geschreven kan worden zoals in het linkerlid, dus als B een lineaire combinatie is van de A's, dus als B element is van vect{A's}.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:11

Klopt. Nog een klein, extra, lichtjes samenhangend vraagje:

"Beschouw het homogeen stelsel:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0
x2 - x3 + x4 - x5 = 0
x4 + 2 x5 = 0

Vind een voortbrengend deel van de oplossingsruimte van dit stelsel dat een minimaal aantal elementen bevat."

Hoe begin ja aan zoiets ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:23

Kan je het homogeen stelsel oplossen? Je zal een aantal vrije variabelen te kiezen hebben.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:28

Ja, zo'n oplossing is bv. (2, -3, 0, 2, -1). Maar wat nu ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:29

Nee, niet 'een oplossing is bijvoorbeeld'; kan je het (volledig) oplossen? Kan je de oplossingenverzameling vinden?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:35

(-2.A - 2.B, A + 3B, A, -2.B, B) (met A, B ∈ R)

Zo dan ?

Veranderd door Biesmansss, 30 mei 2012 - 14:44

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:42

Oké, alleen een tekenfout in de eerste component?

Je kan elke oplossing uit deze verzameling dus schrijven als A.(...)+B.(...).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:46

Ja dit was een tekenfout, heb het even aangepast.

We kunnen elke oplossing uit deze verzameling schrijven als:

A.(-2, 1, 1, 0, 0) + B.(-2, 3, 0, -2, 1)

Dus dit geeft een 'basis' van de deelruimte ? correct ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:48

Ja, bestaande uit die twee vectoren. Maar zelfs als je het begrip 'basis' nog niet hebt, het is in elk geval een stel vectoren dat alle oplossingen voortbrengt. Is het ook minimaal? Ja: die twee vectoren zijn immers lineair onafhankelijk, je kan er geen weglaten zonder de voortgebrachte ruimte te veranderen (verkleinen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:54

Ja, bestaande uit die twee vectoren. Maar zelfs als je het begrip 'basis' nog niet hebt, het is in elk geval een stel vectoren dat alle oplossingen voortbrengt. Is het ook minimaal? Ja: die twee vectoren zijn immers lineair onafhankelijk, je kan er geen weglaten zonder de voortgebrachte ruimte te veranderen (verkleinen).


Ok, bedankt! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 mei 2012 - 14:54

Oké. Maar zoals je zelf al zegt: voortbrengend én minimaal, dat is natuurlijk niets anders dan een basis. Op deze manier vind je dus een basis voor de oplossingenverzameling van dit homogeen stelsel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2012 - 15:00

Oké. Maar zoals je zelf al zegt: voortbrengend én minimaal, dat is natuurlijk niets anders dan een basis. Op deze manier vind je dus een basis voor de oplossingenverzameling van dit homogeen stelsel.


Dat is wel belangrijk om te onthouden.
Voor diegene die geïnteresseerd mochten zijn:

Om snel na te gaan of het effectief een basis betreft kan je eenvoudig nagaan of (A, B) = (0, 0) de enige oplossing is voor:

A.(-2, 1, 1, 0, 0) + B.(-2, 3, 0, -2, 1) = 0
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures