[wiskunde] 'Bewerkingen' met vectorruimten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 30-05-'12, 16:09

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

'Bewerkingen' met vectorruimten

" Zij (R, V, +) een vectorruimte. Beschouw deelruimten X en Y. Toon aan dat

X + Y = {x + y | x ∈ X, y ∈ Y} en X ∩ Y = {v ∈ V | v ∈ X en v ∈ Y} ook deelruimten zijn."

Te beginnen met 'X + Y'

Om aan te tonen dat dit opnieuw een deelruimte is volstaat het per definitie om de voorwaarden, die een deelverzameling nodig heeft om als deelruimte beschouwd te worden, na te gaan. Stel U = X + Y.

1) Bevat U de nulvector ?

Ja:

nulvectorx + nulvectory = 0 + 0 = 0 = nulvectoru

2) Behoren lineaire combinaties van U opnieuw tot U ?

Ja:

A.U1 + B.U2

=A.(x1 + y1) + B.(x2 + y2)

= A.x1 + B.x2 + A.y1 + B.y2

Maar nu ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:12

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

De eerste 2 termen zitten in ... en de laatste 2 in ... Dus per definitie zit de som van de 4 in ...

Vul aan ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:19

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

Drieske schreef: ↑wo 30 mei 2012, 16:12
De eerste 2 termen zitten in ... en de laatste 2 in ... Dus per definitie zit de som van de 4 in ...

Vul aan ;) .
De eerste twee termen zitten in X en de volgende twee in Y dus per definitie zitten de 4 in X + Y.

Dat was dus vrij equivalent. :P

Dus het eerste is al aangetoond.

Nu dit i.v.m. de doorsnede nog ?

Noem U = X ∩ Y

1) Aangezien de nulvector sowieso in X en Y zit, zal deze per definitie ook in de verzameling X ∩ Y zitten.

2)

A.U1 + B.U2

= A.(X1 ∩ Y1) + B.(X2 ∩ Y2)

Maar nu ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:22

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

Dit is wel een vreemde manier van noteren, je schrijft lineaire combinaties van verzamelingen...?

Neem v in de doorsnede en w in de doorsnede, zit av+bw dan ook in de doorsnede? Ja want...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:23

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

Dat is wel zeer onoverzichtelijk opgeschreven ;) . Denk er gewoon logisch over. Stel dus u1 en u2 in U, de doorsnede van X en Y. De vraag is nu: zit Au1 + Bu2 in X én Au1 + Bu2​ in Y? Dat zou nu vrij triviaal moeten zijn.

Edit: weer een goed teken :P .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:25

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

Intuïtief weet je van wel, aangezien je beiden elementen met hetzelfde vermenigvuldigd zal A.v opnieuw in zowel X als Y zitten, maar hoe toon je dit aan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:26

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

Toon het aan door apart aan te tonen dat de som in X en Y zitten. Gebruik hier dan uiteraard wat je weet over X en Y :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:27

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

Biesmansss schreef: ↑wo 30 mei 2012, 16:25
Intuïtief weet je van wel, aangezien je beiden elementen met hetzelfde vermenigvuldigd zal A.v opnieuw in zowel X als Y zitten, maar hoe toon je dit aan ?
VermenigvuldigD???? :mrgreen:

Aangezien v en w in de doorsnede zitten, zitten v en w zeker in X. Aangezien X een deelruimte is, zit av+bw... Analoog voor Y en dus?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:30

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

TD schreef: ↑wo 30 mei 2012, 16:27
VermenigvuldigD???? :mrgreen:

Aangezien v en w in de doorsnede zitten, zitten v en w zeker in X. Aangezien X een deelruimte is, zit av+bw... Analoog voor Y en dus?
Hhmmm, dat is natuurlijk wel heel, met de nadruk op heel, triviaal.

Dat ik dit zelf niet gezien heb. :shock:

Bedankt voor de hulp beiden! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 30-05-'12, 16:32

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 'Bewerkingen' met vectorruimten

Ja, stereo-hulp :mrgreen: .
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”