Springen naar inhoud

bepalen basis



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:08

"Werk in (R, R3, +) en beschouw U = vct {(4, 4, -4), (1, -1, 2), (3, 1, 0)}. Zoek de dimensie van U en bepaal een basis voor deze deelruimte. Behoren de vectoren
(1, 0, 0) en (-4, -10, 13) tot U ? Indien ja, geef de coördinaten van deze vectoren t.o.v. de zelfgekozen basis."


Hoe bepaal je wat de dimensie van een deelruimte is ? Hoe bepaal je een basis ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:22

De makkelijkste manier om je dimensie te bepalen, is door eerst je basis te zoeken :). Deze toont je meestal meteen de dimensie. Immers, stel even dat je 3 vectoren allen lineair onafhankelijk zijn, wat is dan de dimensie? Als een van de drie een combinatie is van de andere 2 (en deze zijn wél lineair onafhankelijk), wat is dan de dimensie?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:24

De makkelijkste manier om je dimensie te bepalen, is door eerst je basis te zoeken :). Deze toont je meestal meteen de dimensie. Immers, stel even dat je 3 vectoren allen lineair onafhankelijk zijn, wat is dan de dimensie? Als een van de drie een combinatie is van de andere 2 (en deze zijn wél lineair onafhankelijk), wat is dan de dimensie?


In het eerste geval is de dimensie 3, in het tweede is deze 2.

Hoe bepaal ik een basis van een deelruimte ?
Ik dacht eerst aan {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, maar dit blijkt niet te kloppen (dit is wel een basis van de vectorruimte).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:30

Merk allereerst op dat je 3 vectoren sowieso voortbrengend zijn. Je wilt ze nu nog lineair onafhankelijk. De vraag is eigenlijk: hoeveel van deze 3 zijn lineair inafhankelijk? Merk hierbij ook meteen op dat het niet uitmaakt of je nu vindt dat de derde een combinatie is van de eerste 2 of de tweede een combinatie van de eerste en de derde. Waarom?

Ben je overigens bekend met "uitdunnen tot een basis"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:37

Waarom dit niet uitmaakt ? Omdat de plaats waar we de elementen van een basis schrijven in een zeker opzicht irrelevant is ? Als 1 van de vectoren een lineaire combinatie is van de andere is de verzameling gewoon afhankelijk, ik vind het precies vrij triviaal dat het er niet toe doet welke dit is ? Wanneer je bv kijkt naar het bewijs van een vrij-deel, dan nummeren we, om het eenvoudiger te maken, de termen zo dat A1 ≠ 0. Dit mag omdat de optelling commutatief is ?

Neen, hier ben ik niet mee bekend. Wat is dit ? De cursus reikt (in ieder geval tot aan deze oefeningen) ook niet echt een manier om dit op te lossen.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:44

Het is inderdaad een beetje triviaal hoor :). Bekijk het zo: of je nu zegt v = aw + bu (a en b getallen), of w = (v - bu)/a, dat is hetzelfde.

Je wilt eigenlijk weten: heeft A(4, 4, -4) + B(1, -1, 2) + C(3, 1, 0) = (0, 0, 0) een niet-triviale (dus niet A=B=C=0) oplossing? Zoja, dan is minstens 1 getal niet 0 (zeg A) en kun je schrijven dat, bijvoorbeeld, (4, 4, -4) = B/A(1, -1, 2) + C/A((3, 1, 0). Zie je wat dat helpt? Zoek eens zo'n A, B, C.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:50

Aha, we weten al dat U een voortbrengend deel is, door na te gaan of dit al dat niet vrij is weten we of het een basis is.

We lossen het stelsel op en vinden als algemene oplossing ( -A / 2 , -A , A ).
Een mogelijke oplossing is dus (-1, -2, 2).

Maar wat nu ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:53

Wel, je vindt dus dat -1*(4, 4, -4) + (-2)*(1, -1, 2) + 1*(3, 1, 0) = (0, 0, 0). Of dus: (4, 4, -4) + 2*(1, -1, 2) = 1*(3, 1, 0). Dus wat kun je besluiten over (3, 1, 0)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 12:58

Wel, je vindt dus dat -1*(4, 4, -4) + (-2)*(1, -1, 2) + 1*(3, 1, 0) = (0, 0, 0). Of dus: (4, 4, -4) + 2*(1, -1, 2) = 1*(3, 1, 0). Dus wat kun je besluiten over (3, 1, 0)?


Ik vermoed dat je toch een klein foutje hebt gemaakt i.v.m. '1*(3, 1, 0)' dit moet nl. '2*(3, 1, 0)', toch ?
In ieder geval de redenering blijft hetzelfde:
-1*(4, 4, -4) + (-2)*(1, -1, 2) + 1*(3, 1, 0) = (0, 0, 0). Of dus: 2*(3, 1, 0) + (-2)*(1, -1, 2) = 1*(4, 4, -4). D

Over (4, 4, -4) kunnen we dus besluiten dat dit een lineaire combinatie is van de andere twee, bijgevolg is U op zich geen basis ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 13:02

Ja, typfoutjes in die aard sluipen er bij mij helaas iets te rap in :oops:. Maar het idee blijft inderdaad gewoon overeind. Oef! Nu, je kunt je voortbrengend deel dus herschrijven naar (ik ga nu even abstracter werken): je bent begonnen met een voortbrengend deel {u, v, w} en je hebt gevonden dat u = A v + B w, dus kun je je voortbrengend deel herschrijven naar {A v + B w, v, w}. Maar dit is weer hetzelfde als ...?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 13:06

u = A.v + B.w -> v = (u - B.w) / A

Dus {A v + B w, v, w} is hetzelfde als {u, (u - B.w) / A, w} ?

We zouden hetzelfde kunnen doen in functie van w uiteraard.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 13:07

Waar ik op doel, is dat de ruimte voortgebracht door {A v + B w, v, w} exact hetzelfde is als de ruimte voortgebracht door {v, w}. Immers is A v + B w in se al een lineaire combinatie van v en w. Dit zou je nu in staat moeten stellen om je basis te bepalen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 13:13

De basis wordt dan:

{(1, -1, 2), (3, 1, 0)}

Hieruit volgt dat de dimensie van U = 2

Om nu te kijken of (1, 0, 0) in U ligt; maakt het uit of we dan het stelsel oplossen m.b.v. de basis of gewoon d.m.v. de drie oorspronkelijke vectoren ? Nee toch ?

Ookal zal het oplossen m.b.v. de basis natuurlijk wel sneller gaan.

Veranderd door Biesmansss, 31 mei 2012 - 13:18

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 13:16

Ik zou dat +-teken niet schrijven ;). De basis is {..., ...}. Snap je dit ook?

En je zou nu héél rap moeten zien, met deze basis, of (1, 0, 0) ertoe behoort. Hint: bekijk de laatste coördinaat.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 13:19

Ik zou dat +-teken niet schrijven ;). De basis is {..., ...}. Snap je dit ook?

En je zou nu héél rap moeten zien, met deze basis, of (1, 0, 0) ertoe behoort. Hint: bekijk de laatste coördinaat.


Sorry, dit was met snel de zijn en door coppy-paste te gebruiken. Heb het even aangepast. :D

Doel je erop dat de laatste coördinaat in zowel (1, 0, 0) 0 is als in (3, 1, 0) ? Hoe moet ik dit dan heel snel zien ?

Veranderd door Biesmansss, 31 mei 2012 - 13:20

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures