Inverse van bovendriehoeksmatrix

QuarkSV

Hallo

In mijn boek wordt stilzwijgend gezegd dat de inverse van een inverteerbare bovendriehoeksmatrix A steeds een bovendriehoeksmatrix (laat ons A^-1 = B) is. Ik weet dus dat A.B = II = B.A en moet dus aantonen dat alle elementen van B, b_{ij} (met i>j) = 0. Dit zou aantonen dat B (inverse van A) ook bovendriehoeks is...

Ik weet al dat alle elementen van A, a_{ij} (met i>j) = 0 (gegeven dat A bovendriehoeks is).

Hoe kan ik aantonen dat voor elementen van B, b_{ij} (met i>j) = 0?

PS: 'II' staat voor de eenheidsmatrix

Alvast bedankt

Drieske

Ken je de formule:

\(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A)\)

? Zoja, kun je bewijzen dat als A bovendriehoeks is, dan ook adj(A)?

eendavid

Bekijk de vergelijking (B.A)_{21}=0. Wat volgt hieruit?

Bekijk dan het stelsel vergelijking (B.A)_{nm}=0, met n vast en m=1,...,n-1. Wat volgt hieruit?

edit: je kan inderdaad de adj ook gebruiken, maar het kan dus eenvoudiger zonder.

QuarkSV

Ik snap het nog altijd niet. Graag de "eenvoudigste" methode (wss ook kortste?). Stel dat ik het via de adj doe, hoe moet ik daar dan op redeneren, Drieske? Of is de methode van eendavid eenvoudiger?

eendavid

A is een inverteerbare bovendriehoeksmatrix, dat wil zeggen dat de elementen op de diagonaal niet verdwijnen. Er geldt voor de inverse B dat

\((B.A)_{21}=B_{21} A_{11} = 0.\)

Vermits

\(A_{11}\neq 0\)

, volgt dat

\(B_{21}=0\)

.

Algemener:

\((B.A)_{i1}=0\)

impliceert

\(B_{i1}=0\)

. Wat impliceert

\((B.A)_{i2}=0\)

dan? En via inductie

\((B.A)_{ij}=0\)

met j<i?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inverse van bovendriehoeksmatrix

Inverse van bovendriehoeksmatrix

Re: Inverse van bovendriehoeksmatrix

Re: Inverse van bovendriehoeksmatrix

Re: Inverse van bovendriehoeksmatrix

Re: Inverse van bovendriehoeksmatrix