Springen naar inhoud

Toon aan: beeldruimte/kern



  • Log in om te kunnen reageren

#1

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 14:53

Dit is geen huiswerk, maar ik wist niet waar dit het beste thuishoorde dus heb het hier geplaatst.

De vraag is: Toon aan: de beeldruimte van een (n x k)-matrix A vertelt ons of het stelsel Ax = B oplossingen heeft, terwijlen de kern van A ons zegt hoe groot de oplossingenverzameling is.

Ik snap niet goed hoe ik dit zou kunnen aantonen. Een gok is dat het iets te maken heeft met: null (A) + rang (A) = k met k=aantal vrije variabelen.

Kan er iemand mij helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:50

Wat je onderaan pagina 40 vindt in bijlage lijkt me ongeveer wat je nodig hebt?

Bijlage  linea.pdf   1,03MB   169 maal gedownload
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 10:17

Wat je onderaan pagina 40 vindt in bijlage lijkt me ongeveer wat je nodig hebt?

Bijlage  linea.pdf   1,03MB   169 maal gedownload


Bedankt voor je antwoord.

De k die ik bedoelde was niet het aantal vrije variabelen, maar het aantal kolommen.

Ik snap nog steeds niet goed hoe ik met de formule dim(ker(A)) = k - dim(im(A)) <=> null(A) + rang (A) = k bovenstaande stelling heb aangetoond. Volstaat dit? Hoe kan je dit eenvoudig begrijpen?

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 10:32

Ik weet niet of je het volgende wil horen, maar ik kan maar proberen:

Ga uit van een stelsel: je hebt twee vergelijkingen in twee onbekenden.
In de vorm AX=B, betekent dit een 2x2-matrix voor A, een 2x1-matrix voor B.
Herleid naar canonieke vorm (dus enkel lineair onafhankelijke vergelijkingen overhouden)
Stel dat je een vergelijking toevoegt, in diezelfde twee onbekenden, dan kan het zijn dat daardoor geen oplossing meer mogelijk is.
Stel echter dat we het houden bij die 2 vergelijkingen, maar in een onbekende meer, dan kunnen we hier slechts twee onbekenden uit oplossen in functie van de derde (dat is je vrijheidsgraad). De oplossingenruimte is een rechte als je het je grafisch probeert voor te stellen.
Als je nog een onbekende toevoegt, dan zal je kunnen oplossen in functie van die twee onbekenden, je hebt dan twee vrijheidsgraden, oplossingsruimte is een vlak.

Dat is het idee dat erbij hoort denk ik. Maar dat is nog niet meteen een bewijs dat geef ik toe.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 14:36

Ik weet niet of je het volgende wil horen, maar ik kan maar proberen:

Ga uit van een stelsel: je hebt twee vergelijkingen in twee onbekenden.
In de vorm AX=B, betekent dit een 2x2-matrix voor A, een 2x1-matrix voor B.
Herleid naar canonieke vorm (dus enkel lineair onafhankelijke vergelijkingen overhouden)
Stel dat je een vergelijking toevoegt, in diezelfde twee onbekenden, dan kan het zijn dat daardoor geen oplossing meer mogelijk is.
Stel echter dat we het houden bij die 2 vergelijkingen, maar in een onbekende meer, dan kunnen we hier slechts twee onbekenden uit oplossen in functie van de derde (dat is je vrijheidsgraad). De oplossingenruimte is een rechte als je het je grafisch probeert voor te stellen.
Als je nog een onbekende toevoegt, dan zal je kunnen oplossen in functie van die twee onbekenden, je hebt dan twee vrijheidsgraden, oplossingsruimte is een vlak.

Dat is het idee dat erbij hoort denk ik. Maar dat is nog niet meteen een bewijs dat geef ik toe.

Bedankt voor je antwoord.


Ik redeneer adhv: dim(ker(A)) = k - dim(im(A)) <=> null(A) + rang (A) = k.

Het rode gedeelte gaat over de kern (?).
Als je een vergelijking toevoegt, komt er dan niet een niet-nulrij bij (dus rang(A) die stijgt?).

Het groene gedeelte gaat over de beeldruimte.
Als je een onbekende toevoegt, stijgt het aantal kolommen, wat op zijn beurt zorgt voor een grotere kern (dus null(A) stijgt?

Ik denk dat ik het nog niet volledig vat.

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 08:59

Als we eens even heel eenvoudig beginnen te denken. De matrix A kunnen we opvatten als een afbeelding. Namelijk de volgende: A: x -> Ax. Traditioneel gaat die afbeelding van een vector in R naar een vector in R. Dan is het stelsel Ax = b eigenlijk een herformulering van de vraag "zit b in het beeld van A? Maw, bestaat er een x waarvoor Ax = b".

Met de kern maak je soortgelijke redenering. Stel dat w in de kern is, en dat v een oplossing is van Ax = b; dus Av = b geldt. Wat weet je dan over A(v+w)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2012 - 09:19

Als we eens even heel eenvoudig beginnen te denken. De matrix A kunnen we opvatten als een afbeelding. Namelijk de volgende: A: x -> Ax. Traditioneel gaat die afbeelding van een vector in R naar een vector in R. Dan is het stelsel Ax = b eigenlijk een herformulering van de vraag "zit b in het beeld van A? Maw, bestaat er een x waarvoor Ax = b".

Met de kern maak je soortgelijke redenering. Stel dat w in de kern is, en dat v een oplossing is van Ax = b; dus Av = b geldt. Wat weet je dan over A(v+w)?


A(v+w) is opnieuw in de kern?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 09:38

Nee, niet in de kern. w zit in de kern, maar v niet. Schrijf het eens uit: je weet dat Av = b, en Aw = 0 (dat is gegeven), nu is A(v + w) = ... = ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2012 - 10:40

Nee, niet in de kern. w zit in de kern, maar v niet. Schrijf het eens uit: je weet dat Av = b, en Aw = 0 (dat is gegeven), nu is A(v + w) = ... = ...


b + 0 = b? Beeld van A

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 10:43

Inderdaad :). Dus als je nu weet dat {w1, ..., wi} je kern opspannen, wat weet je dan over je oplossingen?

Kun je overigens met wat ik eerder zei, ook iets zeggen over wanneer er oplossingen zijn?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:12

Inderdaad :). Dus als je nu weet dat {w1, ..., wi} je kern opspannen, wat weet je dan over je oplossingen?

Kun je overigens met wat ik eerder zei, ook iets zeggen over wanneer er oplossingen zijn?


Aw =0, dus {w1, ..., wi} = 0 en {w1, ..., wi} behoort niet tot de beeldruimte b?
Dus als x is niet gelijk aan w, dan behoort x tot de beeldruimte? (ik ga hier denk ik compleet de mist in)

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:42

Je verwoordt het wat vreemd. Maar stel even dat v een oplossing is van Ax = b, dus Av = b geldt. Dan weet je meteen dat v + w, met w een lineaire combinatie van je w1, ..., wi ook een oplossing is, dus A(v + w) = b geldt ook. Kun je dat nu niet linken aan "de kern zegt je hoe groot je oplossingenverzameling is"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 13:17

De kern is w groot? :? :lol:

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 13:19

Wat bedoel je hiermee? met "groot" bedoelen ze eerder in de zin van dimensie hè... Maar zie je nu niet ongeveer dat de grootte van je kern je eigenlijk een maat geeft voor hoeveel verschillende oplossingen je gaat hebben?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 13:23

:oops: :cry:






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures