Dit is geen huiswerk, maar ik wist niet waar dit het beste thuishoorde dus heb het hier geplaatst.
De vraag is: Toon aan: de beeldruimte van een (n x k)-matrix A vertelt ons of het stelsel Ax = B oplossingen heeft, terwijlen de kern van A ons zegt hoe groot de oplossingenverzameling is.
Ik snap niet goed hoe ik dit zou kunnen aantonen. Een gok is dat het iets te maken heeft met: null (A) + rang (A) = k met k=aantal vrije variabelen.
Kan er iemand mij helpen?
Laatste berichten
-
14:19
Herleiden afmetingen vanaf een foto 2
-
12:33
Rotatie van het heelal 26
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Toon aan: beeldruimte/kern
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 7.390
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Wat je onderaan pagina 40 vindt in bijlage lijkt me ongeveer wat je nodig hebt?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 139
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Bedankt voor je antwoord.In physics I trust schreef: ↑do 31 mei 2012, 19:50
Wat je onderaan pagina 40 vindt in bijlage lijkt me ongeveer wat je nodig hebt?
[attachment=10565:linea.pdf]
De k die ik bedoelde was niet het aantal vrije variabelen, maar het aantal kolommen.
Ik snap nog steeds niet goed hoe ik met de formule dim(ker(A)) = k - dim(im(A)) <=> null(A) + rang (A) = k bovenstaande stelling heb aangetoond. Volstaat dit? Hoe kan je dit eenvoudig begrijpen?
-
- Berichten: 7.390
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Ik weet niet of je het volgende wil horen, maar ik kan maar proberen:
Ga uit van een stelsel: je hebt twee vergelijkingen in twee onbekenden.
In de vorm AX=B, betekent dit een 2x2-matrix voor A, een 2x1-matrix voor B.
Herleid naar canonieke vorm (dus enkel lineair onafhankelijke vergelijkingen overhouden)
Stel dat je een vergelijking toevoegt, in diezelfde twee onbekenden, dan kan het zijn dat daardoor geen oplossing meer mogelijk is.
Stel echter dat we het houden bij die 2 vergelijkingen, maar in een onbekende meer, dan kunnen we hier slechts twee onbekenden uit oplossen in functie van de derde (dat is je vrijheidsgraad). De oplossingenruimte is een rechte als je het je grafisch probeert voor te stellen.
Als je nog een onbekende toevoegt, dan zal je kunnen oplossen in functie van die twee onbekenden, je hebt dan twee vrijheidsgraden, oplossingsruimte is een vlak.
Dat is het idee dat erbij hoort denk ik. Maar dat is nog niet meteen een bewijs dat geef ik toe.
Ga uit van een stelsel: je hebt twee vergelijkingen in twee onbekenden.
In de vorm AX=B, betekent dit een 2x2-matrix voor A, een 2x1-matrix voor B.
Herleid naar canonieke vorm (dus enkel lineair onafhankelijke vergelijkingen overhouden)
Stel dat je een vergelijking toevoegt, in diezelfde twee onbekenden, dan kan het zijn dat daardoor geen oplossing meer mogelijk is.
Stel echter dat we het houden bij die 2 vergelijkingen, maar in een onbekende meer, dan kunnen we hier slechts twee onbekenden uit oplossen in functie van de derde (dat is je vrijheidsgraad). De oplossingenruimte is een rechte als je het je grafisch probeert voor te stellen.
Als je nog een onbekende toevoegt, dan zal je kunnen oplossen in functie van die twee onbekenden, je hebt dan twee vrijheidsgraden, oplossingsruimte is een vlak.
Dat is het idee dat erbij hoort denk ik. Maar dat is nog niet meteen een bewijs dat geef ik toe.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 139
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Bedankt voor je antwoord.In physics I trust schreef: ↑vr 01 jun 2012, 11:32
Ik weet niet of je het volgende wil horen, maar ik kan maar proberen:
Ga uit van een stelsel: je hebt twee vergelijkingen in twee onbekenden.
In de vorm AX=B, betekent dit een 2x2-matrix voor A, een 2x1-matrix voor B.
Herleid naar canonieke vorm (dus enkel lineair onafhankelijke vergelijkingen overhouden)
Stel dat je een vergelijking toevoegt, in diezelfde twee onbekenden, dan kan het zijn dat daardoor geen oplossing meer mogelijk is.
Stel echter dat we het houden bij die 2 vergelijkingen, maar in een onbekende meer, dan kunnen we hier slechts twee onbekenden uit oplossen in functie van de derde (dat is je vrijheidsgraad). De oplossingenruimte is een rechte als je het je grafisch probeert voor te stellen.
Als je nog een onbekende toevoegt, dan zal je kunnen oplossen in functie van die twee onbekenden, je hebt dan twee vrijheidsgraden, oplossingsruimte is een vlak.
Dat is het idee dat erbij hoort denk ik. Maar dat is nog niet meteen een bewijs dat geef ik toe.
Ik redeneer adhv: dim(ker(A)) = k - dim(im(A)) <=> null(A) + rang (A) = k.
Het rode gedeelte gaat over de kern (?).
Als je een vergelijking toevoegt, komt er dan niet een niet-nulrij bij (dus rang(A) die stijgt?).
Het groene gedeelte gaat over de beeldruimte.
Als je een onbekende toevoegt, stijgt het aantal kolommen, wat op zijn beurt zorgt voor een grotere kern (dus null(A) stijgt?
Ik denk dat ik het nog niet volledig vat.
-
- Berichten: 10.179
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Als we eens even heel eenvoudig beginnen te denken. De matrix A kunnen we opvatten als een afbeelding. Namelijk de volgende: A: x -> Ax. Traditioneel gaat die afbeelding van een vector in R naar een vector in R. Dan is het stelsel Ax = b eigenlijk een herformulering van de vraag "zit b in het beeld van A? Maw, bestaat er een x waarvoor Ax = b".
Met de kern maak je soortgelijke redenering. Stel dat w in de kern is, en dat v een oplossing is van Ax = b; dus Av = b geldt. Wat weet je dan over A(v+w)?
Met de kern maak je soortgelijke redenering. Stel dat w in de kern is, en dat v een oplossing is van Ax = b; dus Av = b geldt. Wat weet je dan over A(v+w)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 139
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
A(v+w) is opnieuw in de kern?Drieske schreef: ↑za 02 jun 2012, 09:59
Als we eens even heel eenvoudig beginnen te denken. De matrix A kunnen we opvatten als een afbeelding. Namelijk de volgende: A: x -> Ax. Traditioneel gaat die afbeelding van een vector in R naar een vector in R. Dan is het stelsel Ax = b eigenlijk een herformulering van de vraag "zit b in het beeld van A? Maw, bestaat er een x waarvoor Ax = b".
Met de kern maak je soortgelijke redenering. Stel dat w in de kern is, en dat v een oplossing is van Ax = b; dus Av = b geldt. Wat weet je dan over A(v+w)?
-
- Berichten: 10.179
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Nee, niet in de kern. w zit in de kern, maar v niet. Schrijf het eens uit: je weet dat Av = b, en Aw = 0 (dat is gegeven), nu is A(v + w) = ... = ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 139
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Drieske schreef: ↑za 02 jun 2012, 10:38
Nee, niet in de kern. w zit in de kern, maar v niet. Schrijf het eens uit: je weet dat Av = b, en Aw = 0 (dat is gegeven), nu is A(v + w) = ... = ...
b + 0 = b? Beeld van A
-
- Berichten: 10.179
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Inderdaad 
. Dus als je nu weet dat {w1, ..., wi} je kern opspannen, wat weet je dan over je oplossingen?
Kun je overigens met wat ik eerder zei, ook iets zeggen over wanneer er oplossingen zijn?
. Dus als je nu weet dat {w1, ..., wi} je kern opspannen, wat weet je dan over je oplossingen?Kun je overigens met wat ik eerder zei, ook iets zeggen over wanneer er oplossingen zijn?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 139
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Aw =0, dus {w1, ..., wi} = 0 en {w1, ..., wi} behoort niet tot de beeldruimte b?Drieske schreef: ↑za 02 jun 2012, 11:43
Inderdaad
Kun je overigens met wat ik eerder zei, ook iets zeggen over wanneer er oplossingen zijn?
Dus als x is niet gelijk aan w, dan behoort x tot de beeldruimte? (ik ga hier denk ik compleet de mist in)
-
- Berichten: 10.179
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Je verwoordt het wat vreemd. Maar stel even dat v een oplossing is van Ax = b, dus Av = b geldt. Dan weet je meteen dat v + w, met w een lineaire combinatie van je w1, ..., wi ook een oplossing is, dus A(v + w) = b geldt ook. Kun je dat nu niet linken aan "de kern zegt je hoe groot je oplossingenverzameling is"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 10.179
Re: Toon aan: beeldruimte/kern
Wat bedoel je hiermee? met "groot" bedoelen ze eerder in de zin van dimensie hè... Maar zie je nu niet ongeveer dat de grootte van je kern je eigenlijk een maat geeft voor hoeveel verschillende oplossingen je gaat hebben?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
