Springen naar inhoud

Lineaire afbeeldingen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 16:36

Ik ben bezig met een stuk over lineaire afbeeldingen, ik snap echter weinig van de definitie en de bijhorende voorbeelden. Dus indien iemand deze even zou willen verduidelijken, zou dit zeer gewaardeerd worden.

"Definitie:

Zij (R, V, +) e, (R, W,+) vectorruimten.
We noemen een afbeelding L: V -> W lineair als

∀v1, v2 ∈ V, ∀ A, B ∈ R: L(A.v1 + B.v2) = A.L(v1) + B.L(v2)

m.a.w. L "schuift" door lineaire combinaties.
Indien L lineair is en bijectief is, noemt men L een isomorfisme. Als er een isomorfisme bestaat van V naar W, dan noemt men V en W isomorf. Een lineaire afbeelding L: V -> R noemt men een lineaire vorm of lineaire functionaal. Een lineaire afbeelding L: V -> V noemt men een lineaire transformatie van V."

Voorbeelden:

1) Zij I een open interval en noteer C1(I) de verzameling van de functies f: I -> R die een continue afgeleide hebben minstens van de eerste orde; noteer met C(I) de verzameling van alle continue functies van I naar R. Beide verzamelingen zijn een vectorruimte voor de puntsgewijze bewerkingen op functies. De afbeelding
D: C1(I) -> C(I): f |-> Df = f' is lineair.
Merk op dat dit een equivalente manier is om rekenregels weer te geven. Die rekeneigenschappen van de afgeleide worden precies daarom de "lineariteitseigenschappen" van de afgeleide genoemd.

2) Zij (R, Rrij, 0) de vectorruimte van de rijen in R. Beschouw de afbeelding
Δ: Rrij |-> Rrij: y = (yn)n |-> Δy met (Δy)n = yn+1 - yn noemt men de (eerste orde) differentie-operator. De rij Δy noemt men de (eerste orde) differentierij van de rij y. Men kan gemakkelijk nagaan dat Δ lineair is.

3) Zij B = {v1 , ..., vn} een basis van een n-dimensionale vectorruimte (R, V, +). De coördinaatafbeelding

Cob: V -> Rn: v |-> Cob (v) = (x1, ..., xn)

Is een isomorfisme tussen (R, V, +) en (R, Rn, +). Eigenlijk betekent dit dat de vectorruimte (R, Rn, +) het prototype bij uitstek is van een n-dimensionale vectorruimte.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 16:45

Een isomorfie is niet iets typisch uit de liniaire algebra.

Bekijk dit begrip eerst eens appart zou ik zeggen.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 17:46

Bekijk begrip per begrip eerst eens. Lineair is je duidelijk?

Wat tempelier zegt, klopt, maar het apart bekijken is niet noodzakelijk lijkt me: je moet het ergens voor het eerst invoeren. Of dat nu op iets concreet is, of zo algemeen mogelijk... Soms is het makkelijker in concrete situaties.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:08

Goh lineair, wel we hebben in het eerste deel van de cursus gezien dat voor lineaire functies geldt dat

f(A.x) = A.f(x)
f(x + y) = f(x) + f(y)

Maar wat dit echt betekent..
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:36

Goh lineair, wel we hebben in het eerste deel van de cursus gezien dat voor lineaire functies geldt dat

f(A.x) = A.f(x)
f(x + y) = f(x) + f(y)

Maar wat dit echt betekent..

Dit is om de beeldruimte een eigenschap te geven.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:44

Wel, om je een idee te geven, je moet wat oppassen met dat begrip 'lineair'. Want bijvoorbeeld f(x) = x+1 is géén lineaire afbeelding. Verder zou ik me niet te zeer afvragen wat dat nu juist voorstelt. Het essentiële is dat je de twee karakterisaties (of één) van een lineaire afbeelding voor ogen houdt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:47

"Zij (R, V, +) e, (R, W,+) vectorruimten.
We noemen een afbeelding L: V -> W lineair als

∀v1, v2 ∈ V, ∀ A, B ∈ R: L(A.v1 + B.v2) = A.L(v1) + B.L(v2)"

Concreet staat hier net hetzelfde als
f(A.x + B.y) = A.f(x) + B.f(y) ?

Dus vectoren uit v die als invoer dienen voor de functie L waarvan het beeld in de vector ruimte W ligt moeten aan die 'voorwaarde' voldoen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:50

Ja... Merk wel op dat je vectorruimten over hetzelfde veld moeten "gaan". Hier is dat beide keren R.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:51

Ja... Merk wel op dat je vectorruimten over hetzelfde veld moeten "gaan". Hier is dat beide keren R.


En wat bedoel je daar mee ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:55

Niets... Gewoon wat ik zeg: dat het belangrijk is dat er staat (R, V, +) en (R, W, +).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:55

En wat bedoel je daar mee ?


En ook.. stel nu dat V een verzameling is van continue functies (vectorruimte) en W een verzameling van rijen (vectorruimte).

Een functie gaande van V(continue functies) -> W(rijen), wat moet ik me daar bij voorstellen ? :shock:

Veranderd door Biesmansss, 31 mei 2012 - 18:59

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 18:59

En wat bedoel je daar mee ?


Dat de scalairen verzamelingen de zelfde moeten zijn.
Anders kan er aan de definitie niet worden voldaan.

En ook.. stel nu dat V een verzameling is van rijen (vectorruimte) en W een verzameling van continue functies (vectorruimte).

Een functie gaande van V(rijen) -> W(continue functies), wat moet ik me daar bij voorstellen ? :shock:


Dat kan geen 1-1 afbeelding zijn volgens mij.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 19:01

Misschien helpen de voorbeelden het te verduidelijken dan ?

'D: C1(I) -> C(I): f |-> Df = f' is lineair.'

Hoe moet ik dit zien ? de afbeelding D gaat van

continue functies met continue afgeleiden minstens tot de eerste orde naar continue functies ?
Of bedoelen ze met het tweede gewoon naar deze afgeleiden ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2012 - 19:20

Ze bedoelen inderdaad dat je een functie afbeeldt op zijn afgeleide. De voorwaarde van C1 is alleen maar technisch van aard, omdat je afgeleide "nut" moet hebben. Zie je waarom dit lineair is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2012 - 19:24

Niet onmiddellijk, waarom voldoet deze aan de voorwaarden ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures