Springen naar inhoud

Bewijs i.v.m. Kern en Im



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:10

"Zij L: V -> W een lineaire afbeelding tussen vectorruimten (R, V, +) en (R, W, +). Dan zijn Ker L en Im L deelruimten van V resp. W."

Bewijs:

Merk op dat Ker L ≠ ∅ want 0 ∈ Ker L. Het is dus voldoende aan te tonen dat Ker L gesloten is voor het nemen van lineaire combinaties. Neem daarom v1, v2 ∈ Ker L en
A1, A2 ∈ R. Dan is

L(A1.v1 + A2.v2) = A1.L(v1) + A2.L(v2) = A1.0 + A2.0 = 0

en dus is A1.v1 + A2.v2 ∈ Ker L."

Het bewijs op zich snap ik, maar ik heb een paar vraagjes betreffende het 'waarom'.
Om te beginnen met "Ker L ≠ ∅ want 0 ∈ Ker L", waarom is dit zo ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:14

Wel, je moet dus inzien dat voor een lineaire afbeelding steeds geldt dat f(0) = 0. Hier moet je wel even goed opletten tussen het verschil van beide nullen! Ik zal vanaf nu even vectoren in het vet schrijven om het onderscheid tussen getal en vector te onderstrepen. Het te bewijzen wordt: f(0) = 0. Merk op dat f(0) = f(00) = 0f(0) = 0.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:17

Ja, dit lukt wel min of meer.
We weten dat f(A.x) = A.f(x)
Hieruit volgt rechtstreeks dat:
f(0.x) = 0.f(x) = 0 = f(0)

Dus daarom kunnen we zeggen dat deze nooit leeg zal zijn ?

Klein extra vraagje ter verduidelijking:

De kern zijn die vectoren in v waarvoor het beeld L(v) nul wordt.
Dus eigenlijk zijn dit, als we het een beetje vergelijken met de oude context, de nulpunten ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:19

Je kunt het inderdaad vergelijken met je nulpunten van vroeger. Net als vroeger, vertelt een kern je vrij veel over je (lineaire) afbeelding. Maar probeer toch maar om niet steeds te denken aan nulpunten :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:22

Ok, dat eerste heb ik begrepen. :D
Kan je ook uitleggen waarom het dan volstaat om aan te tonen dat Ker L gesloten is voor het nemen van lineaire combinaties ? Omdat we via deze combinaties dan de andere vectoren kunnen bereiken waarvoor Ker L = 0 ? en zodoende deze ook tot dezelfde deelruimte behoren ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:24

Dat is toch per definitie van deelruimte wat je wilt aantonen? Als v1 en v2 in de kern zit, dan ook een lineaire combinatie van deze 2 vectoren. Waarom je eerst aantoont dat de kern niet leeg is, is gewoon omdat het anders niet veel nut heeft om te praten over: neem de vector in de kern.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:27

Aha, ja het begint door te dringen. Maar stel nu dat de functie injectief is, dan is Ker L = {0}. De nulvector van V is dan het enige element in de kern; dit is de onechte deelruimte ? En toch mogen we dit beschouwen als deelruimte afgaand op de definitie hier ?

Veranderd door Biesmansss, 01 juni 2012 - 08:32

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:30

Wat bedoel je met "de nulvector van 2"? Als de nulvector het enige is wat in je kern zit, kun je inderdaad geen 2 verschillende vectoren in je kern nemen. Echter vormt dat geen probleem, noch voor het bewijs, noch voor de praktijk. Voor het bewijs wordt er immers nergens geëist dat je 2 verschillende vectoren kunt nemen, alleen dat je er 2, al dan niet dezelfde, neemt. Is maar 1, neem je automatisch tweemaal dezelfde.

Edit: je hebt dus aangepast :P. Zie TD's opmerking ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:32

Tussendoor:

dit is de onechte deelruimte ?


Ik heb je hierover in een andere topic ook eens 'verbaasd' gezien, maar de ruimte met enkel de nulvector en de volledige ruimte V (met V een vectorruimte) zijn ook deelruimten van V! Men noemt ze ook wel 'triviale deelruimten' of in jouw geval blijkbaar 'onechte deelruimte'. Echt een goede naam vind ik dat niet, want het is wel 'echt' een deelruimte ;).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:34

Dit moest 'V' zijn, heb het even aangepast. Ja maar puur afgaande op de eerdere definitie van deelruimte, daar gaven ze toch aan nul de benaming 'onechte deelruimte'. Maar nu ben ik mij misschien aan het verliezen in details.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:36

Dit moest 'V' zijn, heb het even aangepast. Ja maar puur afgaande op de eerdere definitie van deelruimte, daar gaven ze toch aan nul de benaming 'onechte deelruimte'. Maar nu ben ik mij misschien aan het verliezen in details.


Misschien ontgaat je het feit dat een 'onechte deelruimte' wél nog steeds een 'deelruimte' is, ondanks de (misschien verwarrende) naam.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:36

Tussendoor:


Ik heb je hierover in een andere topic ook eens 'verbaasd' gezien, maar de ruimte met enkel de nulvector en de volledige ruimte V (met V een vectorruimte) zijn ook deelruimten van V! Men noemt ze ook wel 'triviale deelruimten' of in jouw geval blijkbaar 'onechte deelruimte'. Echt een goede naam vind ik dat niet, want het is wel 'echt' een deelruimte ;).


Aha, dat is inderdaad een beetje waar mijn verbazing op neer komt ja. Ok. :D

Misschien ontgaat je het feit dat een 'onechte deelruimte' wél nog steeds een 'deelruimte' is, ondanks de (misschien verwarrende) naam.


Ja, sorry had je bericht pas na mijn reactie gelezen.

OT: Hoe komt het dat 'Privé' bij je status staat ? Is dit omdat je onzichtbaar staat ? (vraag het me gewoon al een paar dagen af)

Veranderd door Biesmansss, 01 juni 2012 - 08:37

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:38

Ja, sorry had je bericht pas na mijn reactie gelezen.


Oké :).

OT: Hoe komt het dat 'Privé' bij je status staat ? Is dit omdat je onzichtbaar staat ? (vraag het me gewoon al een paar dagen af)


Ah ja, dat is van een paar dagen terug: niet bij stilgestaan dat ik nog steeds onzichtbaar stond. Nu 'zie' je me weer ;).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:39

Ah ja, dat is van een paar dagen terug: niet bij stilgestaan dat ik nog steeds onzichtbaar stond. Nu 'zie' je me weer ;).


Veel beter. :P

Bedankt voor de snelle verduidelijking Dries en TD!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 08:57

Nog snel even een extra vraagje:
Ze spreken ook wel over dimensies van deelruimten. De dimensie van een deelruimte is gelijk aan het aantal elementen van de basis. Stel nu dat we de 'onechte deelruimte' hebben, dus de nulvector. Een basis mag toch nooit de nulvector bevatten ? Dus wat is dan de dimensie van een onechte deelruimte ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures