Springen naar inhoud

Lineaire combinatie



  • Log in om te kunnen reageren

#1

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 10:04

Hallo,

ik twijfel aan de oplossing van volgend gevraagde.

Gegeven: a1=(1,2,4,-1), a2=(2,0,3,1), a3=(0,-6,-6,7), a4=(-1,0,0,2), a=(2,-6,-3,8)

Gevraagd: schrijf a als een lineaire combinatie van ai met i element van {1,...,4).

Ik kom uit: (r+2s-u, 2r-6t, 4r+3s-6t, -r+s+7t+2u) = (2,-6,-3,8).

Ik heb dit vervolgens in mijn grafisch rekenmachine gestoken en kwam volgend stelsel uit mbv Matred:

r+3u=0
s-2u=1
t+u=1
0=0

De bovenstaande oplossing kan dus volgens mij niet meer vereenvoudigd worden, klopt dit? Is de bovenstaande oplossing voldoende/correct?

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1766 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 10:23

De vier vectoren zijn niet onafhankelijk dacht ik in de gauwigheid..

Kontroleer dit eens is het zo dan kan er dus eentje worden wegelaten. (of van de skalair 0 worden voorzien)

Veranderd door tempelier, 01 juni 2012 - 10:23

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 10:24

Dit is toch ook wat TS vindt? Hij heeft nog maar 3 vergelijkingen over...

@TheBrain: weet je hoe je een stelsel van 3 vergelijkingen met 4 onbekenden oplost?

PS: ik heb je vergelijkingen niet gecontroleerd wegens geen blad of pen ter beschikking :P, maar dat zal wel kloppen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1766 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 10:31

Klopt ja, maar hij herkent het niet als zodanig dacht ik.

En ook ik heb het niet op papier nagerekend maar het uit het hoogd gedaan wat nogal onbetrouwbaar is.

Daarom mijn vraag kijk hier even na.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#5

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 11:10

De vier vectoren zijn niet onafhankelijk dacht ik in de gauwigheid..

Kontroleer dit eens is het zo dan kan er dus eentje worden wegelaten. (of van de skalair 0 worden voorzien)


Ik zie het niet. a2 + a3 = a is het enigste dat me opvalt.

Welke mag er "weg"?

Dit is toch ook wat TS vindt? Hij heeft nog maar 3 vergelijkingen over...

@TheBrain: weet je hoe je een stelsel van 3 vergelijkingen met 4 onbekenden oplost?


Ik vrees er voor :oops:

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 11:15

Je hebt dus dit stelsel:
r+3u=0
s-2u=1
t+u=1
Je ziet hier 4 variabelen, namelijk r s t en u, en maar 3 vergelijkingen. Bijgevolg kun je 3 van de 4 variabelen uitdrukken in functie van de 4de. Hier is dat niet zo moeilijk: r = -3u, s = 1 + 2u en t = u-1. Nu heb je r s en t uitgedrukt in functie van u. Maar op u ligt er nu geen beperking. Dus als je u=1 invult, vind je een oplossing van je stelsel, maar als je u = 2 invult evenzeer. Zie je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 11:21

Ja.

Nu, substitueren in mijn vorige oplossing en klaar?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 11:22

Wel, ja, bijna. Je moet nu gewoon een keuze maken voor u, en dan ben je inderdaad klaar als je deze substitueert. Snap je dit nu ook? En zou je het kunnen op gelijkaardige situaties?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 11:30

Wel, ja, bijna. Je moet nu gewoon een keuze maken voor u, en dan ben je inderdaad klaar als je deze substitueert. Snap je dit nu ook? En zou je het kunnen op gelijkaardige situaties?


Je uitleg was héél verhelderend :-).

Dus mag ik zeggen als eindoplossing:


r=-3
voor u=1 <=> s=3
t=0

Dit substitueer ik dan in de vroegere oplossing.

<=> (3, -6, -3, 2) = (2, -6, -3, 8).

Dit lijkt fout.. Moet de oplossing misschien toch gewoon in functie van, in dit geval, r en s blijven?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 11:48

De methode klopt 100% zeker. Echter, ik heb je stelsels niet nageteld, nog of wat je nu hebt opgeteld inderdaad dat geeft... Eventueel nog eens overlopen op fouten? Straks kan ik het ook deftig natellen.

Edit: volgens mij heb je verkeerd geteld. Bij mij komt het mij die waarden voor r s u en t wél uit. Tel dat dus nog eens?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 14:20

De methode klopt 100% zeker. Echter, ik heb je stelsels niet nageteld, nog of wat je nu hebt opgeteld inderdaad dat geeft... Eventueel nog eens overlopen op fouten? Straks kan ik het ook deftig natellen.

Edit: volgens mij heb je verkeerd geteld. Bij mij komt het mij die waarden voor r s u en t wél uit. Tel dat dus nog eens?


Komt uit nu. Maar wat kom ik nu uit? Is dit iets ter controle?

Is het antwoord nog steeds: (r+2s-u, 2r-6t, 4r+3s-6t, -r+s+7t+2u) = (2,-6,-3,8) ?

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 15:58

Je zocht toch waarden voor r s u en t zodat r(1,2,4,-1) + s(2,0,3,1) + t(0,-6,-6,7) + t(-1,0,0,2), a=(2,-6,-3,8)? Je hebt nu die r s t en u gevonden :). Het uitwerken is inderdaad een controle. Zeker dat je het snapt? Ik heb er wat twijfels bij...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 16:10

Euhm. Ik dénk het.

Verloop van de oefening:

Schrijf a als een lineaire combinatie van ai.

r(1,2,4,-1) + s(2,0,3,1) + t(0,-6,-6,7) + t(-1,0,0,2), a=(2,-6,-3,8)

als we dit uitwerken vinden we het gevraagde, namelijk: (r+2s-u, 2r-6t, 4r+3s-6t, -r+s+7t+2u) = (2,-6,-3,8).

We controleren en/of zoeken de waarden voor r,s,t en u (??)

We vinden dat, voor u=1: r=-3, s=3, t=o .

We controleren (opnieuw) of deze oplossing (??) correct is door de gevonden waarden voor de variabelen te substitueren in de gevonden lineaire combinatie.

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2012 - 16:18

(r+2s-u, 2r-6t, 4r+3s-6t, -r+s+7t+2u) = (2,-6,-3,8).

We controleren en/of zoeken de waarden voor r,s,t en u (??)

Kleine correctie: je lost dat stelsel van 4 vergelijkingen op. Er zijn daarin meerdere mogelijkheden: het stelsel is strijdig, wat betekent dat er geen oplossingen zijn en je element dus niet kan geschreven worden als lineaire combinatie van deze 4. Tweede optie is dat je exact 1 oplossing vindt, dus r=... s=... u=... v=... met op de puntjes échte getallen. Derde optie is dat je oneindig veel oplossingen hebt. In deze situatie zat jij. De 4 gegeven vergelijkingen kon je reduceren naar 3 vergelijkingen, met 4 onbekenden. Dat betekent dat je 1 van de 4 onbekenden "vrij" kunt kiezen en je andere onbekenden kun je uitdrukken in functie van deze ene "vrije". Dat hebben we hierboven gedaan en we vonden r = -3u, s = 1 + 2u en t = u-1 met u de vrije variabele. Nu kun je dus u een waarde naar keuze geven en je vindt de 3 anderen ook. Maar een andere waarde kiezen voor u geeft je evenzeer een geldige oplossing! Dit is wel belangrijk om in te zien.

Vraag: heb je geen theorie gezien rond het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen? Zoja, raad ik je aan die te herbekijken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2012 - 17:13

Ik heb mijn theorie rond stelsels van lineaire vergelijkingen nog even opgefrist. Jouw uitleg vat het mooi samen.

Ik denk dat ik verward ben door de lineaire combinatie. Waarom lossen we het stelsel eigenlijk op? Wat als er blijkt dat er geen oplossingen zijn, of slechts één oplossing..is de lineaire combinatie die in het vet gedrukt staat dan fout?

Bedankt voor uw geduld, ik stel het zeer op prijs.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures