[wiskunde] Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 01-06-'12, 11:12

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Zijn volgende afbeeldingen lineair ? Bepaal voor de afbeeldingen die lineair zijn ook de matrixvoorstelling t.o.v. de standaardbasissen.

a) R[X]2 -> R[X]3: a + b.X + c.X2 |-> c + 2a.X + (a + b + c).X3

b) R2 x 2 -> R2:
\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)
|-> (a + c, b - d)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

We zullen ons eerst bezighouden met (a), daarna met (b).

Voor de eerste om na te gaan of deze lineaire is kunnen we de twee voorwaarden checken:

1) L(R.a, A.b, R.C) = R.c + 2.R.a.X + (R.a + R.b + R.c).X3 = R.(c + 2a.X + (a + b + c).X3) = R.L(a, b, c)

2) L(a + a', b + b', c + c') = c + c' + (2a + 2a') .X + (a + a' + b + b' + c + c').X3

= L(a, b, c) + L(a', b', c')

Nu vraag ik mij eerst en vooral af, moet ik hier werken met a, b, c ? Waarom ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:15

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Wat bedoel je met "moet ik werken met a, b, c?"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:19

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Ja, hoe ga ik na of deze lineair is ? Wat geldt hier als invoerwaarden ?

bv. R2 -> R: (x,y) |-> x + y

Hier is het eenvoudig om na te gaan of deze lineair is.

1) (R.x, R.y) = R.x + R.y = R(x + y) = R.f(x,y)

2) f(x + x', y + y') = x + x' + y + y' = f(x ,y) + f(x', y')

Beide voorwaarden zijn voldaan -> lineair.

Maar hoe controleer ik dat bij deze twee voorschriften ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:22

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Zo bedoel je :) . Zoals je nu gedaan hebt: met a,b,c en a', b', c'. Alleen je notatie kan beter. Het moet zijn: L((a+bX+cX²) + (a'+b'X+c'X²)) = ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:28

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Drieske schreef: ↑vr 01 jun 2012, 11:22
Zo bedoel je :) . Zoals je nu gedaan hebt: met a,b,c en a', b', c'. Alleen je notatie kan beter. Het moet zijn: L((a+bX+cX²) + (a'+b'X+c'X²)) = ...
Aha, en dit wordt dan

L(a + a' + (b + b')X + (c + c')X2) = c + c' + 2(a + a').X + (a + a' + b + b' + c + c'). X3

= ... (triviaal)

Het tweede wordt dan

L(R.(a+bX+cX²) = L((R.a+R.bX+R.cX²) = R.c + 2R.a.X + (R.a + R.b + R.c).X3

= R. L((a+bX+cX²)

Ok, dit is duidelijk. :D

Nu nog het matrixvoorschift t.o.v. de basissen vinden:

De basis van V = {1, X, X2}, akkoord ?

maar nu ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:33

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Klopt, en die van W? De matrix is nu het beeld van de standaardbasis eigenlijk hè. In je eerste kolom staat dus het beeld van ... en dat is ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:37

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Snel nog even vergelijken met het eerder voorbeeld:

bv. R2 -> R: (x,y) |-> x + y

Hier kun je gewoon de standaardbasis (1, 0) en (0, 1) invullen en krijg je:

(1 , 1) als matrix. Wat logisch is.

Maar dus die van W

Euhm, deze is... {1, X, X3} ?

Wat staat er nu in de eerst kolom ? Het beeld van 1 ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:42

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

In de eerste kolom staat inderdaad het beeld van 1 :) . Maar uiteraard wel ten opzichte van je basis! Dus je eerste kolom wordt (even als vector genoteerd om de notatie makkelijker te houden): (..., ..., ...).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:45

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

(1 + 0X + 0X2) -> (0, 2X, 1X3)

zo dan zou ik zeggen.

Maar nu zit ik terug met de vraag, waarom werken we hier met a, b en c als 'invoer' ? Vroeger zou ik deze opvatten als parameters en nu als invoer ? :shock:
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 11:51

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Tja, die parameters zijn nu eenmaal een standaardvoorstelling van je ruimte met polynomen. Het zijn ook nog steeds parameters hè... Jij was gewoon: L(A u + B w), wel dat mag hier nog: L(A(a + bX + cX²) + B(a' + b'X + c'X²)). Is dat (een beetje) een antwoord?

Ivm je afbeelding die je geeft: een probleem dat je quasi altijd hebt, is het door elkaar halen van verschillende voorstellingswijzen. Ten opzichte van je basis {1, X, X²}, heb je de vector (1, 0, 0) die eigenlijk 1 voorstelt. Dus L(1) = 0 + 2X + X³. Ten opzichte van je basis van W, geeft dat dus eigenlijk (0, 2, 1). Snap je?

Nu het beeld van X en X² nog.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 12:08

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Ik denk dat ik weet hoe ik het moet bekijken, maar het is niet zo evident om dit uit te leggen:

Vroeger werkte je met 'vaste parameters' voor een type functie en verschillende x-waarden.

Nu zit je van eerst 'soort functies' in dit geval polynomen, naar opnieuw een soort functies, in dit geval weer polynomen. De eerste groep polynomen kunnen gaan van een reëel getal tot a + b.X + c.X2; al de reële getallen kunnen we opbouwen als een veelvoud van vector 1, al de a + b.X als een veelvoud van vector 1 en een veelvoud van vector X, etc... .

Dus dan kijken we wat bv. de vector 1 in ons beeld geeft, en dit is gewoon deze in het voorschrift invullen.

Zo moet ik het dus ongeveer bekijken ?

Wel nu voor 1, X en X2 (Ik gebruik weer de vector-notatie omwille van het notariële comfort):

Ik heb 1 der opnieuw bijgezet omdat ik daarstraks iets vergeten was, nl. de kolom in het rood (in de eindoplossingen van het boek staat deze erbij; hoeft dit ? Niet vergeten dat deze in de matrix normaal een rij is)

(0, 2, 0, 1)

(0, 0, 0, 1)

(1, 0, 0, 1)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 12:11

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Ja, je kunt daarover discussiëren of die erbij moet. Eigenlijk moet die er inderdaad wel bij. Dat is omdat ik nu meteen een basis van deelruimte beschouw. Maar eigenlijk bepaal je je matrix ten opzichte van een basis / de standaardbasis van de ruimte W, hier de polynomen van hoogstens graad 3. En dan is de basis {1, X, X², X³}. Het is dus, vind ik, meer keuze. Maar zet het er dus maar steeds bij :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 12:16

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Maar nu nog een klein vraagje, hoe moet ik deze matrix-notatie nu net zien ?

W0 =
\(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
.
\(\begin{pmatrix }a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)
dit geeft toch:
\(\begin{pmatrix} c \\ 2 a \\ 0 \\ a + b + c \end{pmatrix} \)
??
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 12:20

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Ja, dat zijn dus je coefficienten ten opzichte van je basis {1, X, X², X³} die je vindt... Dus is het beeld van a+bX + cX² = c + 2a X + 0 X³ + (a+b+c) X³. Dit is nu nog eenvoudig uiteraard. Maar het wordt pas interessant wanneer je de inverse afbeelding gaat zoeken: deze zal bestaan wanneer je matrix inverteerbaar is én gelijk zijn aan de inverse van je matrix.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 01-06-'12, 12:32

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening: zijn volgende afbeeldingen lineair ?

Yup, bedankt! nu houdt het wel volledig steek. We kunnen ons dit dan voorstellen als het volgende:

(1, X, X2, X3) .
\(\begin{pmatrix} c \\ 2 a \\ 0 \\ a + b + c \end{pmatrix} \)
= c + 2a.X + (a + b + c).X3

Klein extra vraagje:

Beschouw de lineaire afbeelding

f: R3 -> R3: (x, y, z) |-> (-3x -2y + 2z, -13x - 5y + 7z, -17x -8y + 10z)

Schrijf de matrix t.o.v. de basis {(1, -1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 1)}

Ik kom het volgende uit
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \)
Als oplossing is echter het volgende gegeven:
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Hoe komt dit ? Hebben ze dit gewoon naar deze vorm gebracht d.m.v. elementaire rij-operaties ? Mag dat hier zomaar ? :shock:

Dan konden ze het ook evengoed naar echelon vorm brengen ? Maar dit mag volgens mij toch echt wel niet.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”