Springen naar inhoud

Injectiviteit bij lineaire afbeeldingen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2012 - 08:06

"Zij L: V -> W: een lineaire afbeelding tussen vectorruimten (R, V, +) en (R, W, +). Veronderstel dat {e1, e2, ..., en} een vrij deel is van V.

(a) Toon aan dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is van W als L injectief is.

(b) Illustreer met een expliciet voorbeeld dat injectiviteit van L essentieel is opdat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel zou zijn."

Iemand een ideetje hoe hieraan te beginnen ?

Definitie injectiveit (in functie-termen):

Elke y-waarde komt overeen met net 1 x-waarde.

Dus dat wil in dit geval zeggen dat elke L(ej) overeenkomt met net 1 vj ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 08:51

Nuttigere definitie van injectiviteit: L is injectief als en slechts als ker(L) = {0}. Dus L(v) = 0 geldt enkel voor v = 0. Helpt dit?

Hierna moet je die equivalentie wel nog bewijzen uiteraard :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2012 - 09:10

Een vrij deel wilt zeggen dat de lineaire combinatie van de elementen enkel nul kan zijn wanneer de oplossing =
0. We weten nu dat Ker(L) = {0} wegens de injectiviteit, Dus dat de oplossingsverzameling gevormd wordt door... ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 09:12

Je moet echt gewoon beginnen met het te bewijzen eens op te schrijven... Dan moet je de lineariteit gebruiken en ook nog ... Probeer eens wat :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2012 - 09:22

We willen aantonen dat {L(e1), ... L(en)} een vrij deel is als L injectief is.
We weten dus dat L injectief is, hieruit volgt dat
Ker L = {0}

Dus de waarde waarvoor het beeld gelijk is aan 0 is enkel v = nul-vector.

De nulvector wordt gevormd door
0 = 0.e1 + ... + 0.en
L(0) = 0.L(e1) + ... + 0.L(en)

Hieruit volgt dat {L(e1), ..., L(en)} voldoet aan de voorwaarde om vrij te zijn ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 09:34

In se kan je methode werken, maar dan moet je nauwkeuriger noteren. Want nu moet het goed blijken dat je het juist ziet. Veiliger is dus beginnen met het te bewijzen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2012 - 13:41

Hoe begin je met het te bewijzen ? :D Allé op welke manier bedoel je het hier ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 14:41

Wel, ik zou gewoon met de definitie werken: stel a1 L(e1) + ... + an.L(en) = 0. We kunnen nu de lineariteit gebruiken om te zeggen dat dit equivalent is met L(a1 e1 + ... + an en) = 0. Nu gebruiken we dat de ker(L) = {0}, dus ... Ga jij nu terug verder.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 11:31

Dus weten we dat:

a1.e1 + ... + an.en = 0, omdat {e1, e2, ..., en} een vrij deel is kan dit dus enkel wanneer
a1, ..., an = 0

Hieruit volgt ondmiddelijk dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} ook een vrij deel is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 11:34

Dat is inderdaad correct :). Nu b, lukt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:44

Ik zou niet onmiddellijk een voorbeeld kunnen bedenken eigenlijk.
Kunnen we hier niet het best werken met functies ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:52

Zeker niet per se :). Het makkelijkste is om iets te zoeken wat bijvoorbeeld van iets met parameters op 4 naar iets met parameters op 3 plaatsen gaat. Denk er wel aan dat je afbeelding lineair moet blijven. Ook is mijn voorstel geen noodzaak: veel niet-injectieve functies gaan voldoen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:54

Hier zeggen ze ook nergens dat {e1, ..., en } een basis is; wordt dit onrechtstreeks veronderstelt of niet ?
Het lijkt me niet noodzakelijk om dit in het voorbeeld te doen maar natuurlijk wel veel gemakkelijker.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:59

Dat is inderdaad niet nodig, maar het mag wel. Maar je mag evengoed een afbeelding zoeken die bijvoorbeeld (1, 0, 0, 0) (of iets anders, vectoren moet niet) en (0, 1, 0, 0) afbeeldt op (1, 0, 0) in beide gevallen. Wel steeds blijven denken aan het lineaire karakter van je afbeelding.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 13:05

Dus nu gaan we opzoek naar een afbeelding die een vrij deel afbeeldt op... welk niet meer vrij is omdat de functie niet injectief is; akkoord ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures