Springen naar inhoud

a = ? waarbij kern (A) = nulvector



  • Log in om te kunnen reageren

#1

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2012 - 21:47

opgave:


A=

a -4 2
-4 a -2
2 -2 -1

Voor welke waarde(n) van a is ker(A) = {0}?


Ik heb det (A) uitgerekend: det A = -a^2 - 8(a-6)

We gaan dus waarschijnlijk gaan moeten onderzoeken voor a=0 en/of a=6.

Ik weet ook het volgende: als de kern gelijk moet zijn aan de nulvector, dan is de nulliteit van A gelijk aan 0. Bijgevolg moet de rang van A gelijk zijn aan het aantal kolommen.

Ik heb voornamelijk problemen met het reduceren van de matrix. Laat dit nu net het soort vraag zijn die ze graag stellen op de examens, doch niet behandelen in de les. Ben ook niet veel wijzer geworden door het internet.

Iemand een idee?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2012 - 21:56

Wat er dus eigenlijk staat is:

Bepaal de waarden van a zodat:

Ax=0 (met x en 0 vectoren) enkel klopt voor x=0 (beide vectoren).

Je determinant bepaalt het aantal oplossingen. Is die verschillend van 0, dan is er maar één oplossing. Je hebt een homogeen stelsel. Die heeft steeds de nuloplossing. Wil je dus op zoek naar een niet-nuloplossing, dan moet je eisen dat die det=0. Hier echter wil je net dat enkel de nuloplossing klopt. Dus alle waarden van a die de determinant niet nul maken voldoen.

Verbeter me als ik iets verkeerd zeg of als je ergens over twijfelt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 09:09

Wat er dus eigenlijk staat is:

Bepaal de waarden van a zodat:

Ax=0 (met x en 0 vectoren) enkel klopt voor x=0 (beide vectoren).

Je determinant bepaalt het aantal oplossingen. Is die verschillend van 0, dan is er maar één oplossing. Je hebt een homogeen stelsel. Die heeft steeds de nuloplossing. Wil je dus op zoek naar een niet-nuloplossing, dan moet je eisen dat die det=0. Hier echter wil je net dat enkel de nuloplossing klopt. Dus alle waarden van a die de determinant niet nul maken voldoen.

Verbeter me als ik iets verkeerd zeg of als je ergens over twijfelt!


Voor de waarden a € R / {0, 6) is de determinant verschillend van nul en is bijgevolg ker(A) = {0} ?

Veranderd door TheBrain, 03 juni 2012 - 09:18


#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 09:27

Zo zou ik het oplossen. Ben je het daarmee eens?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 09:39

Om zeker te zijn: dat is dan toch je oplossing hé? Je kan het toch niet verder uitwerken?

Nog een vraagje over je vorige antwoord: Hoe zie jij dat dit een homogeen stelsel is?

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 09:51

Ja dat is het antwoord. Ik zie dat het een homogeen stelsel is door de definitie van de kern: de kern wordt op de nulvector afgebeeld. En een homogeen stelsel heeft net als laatste kolom die nul-kolom.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 11:35

Ja dat is het antwoord. Ik zie dat het een homogeen stelsel is door de definitie van de kern: de kern wordt op de nulvector afgebeeld. En een homogeen stelsel heeft net als laatste kolom die nul-kolom.


Super, ik snap het volledig.

Danku danku danku

#8

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 11:40

Extra vraagje bij deze zelfde opgave: voor welke waarde(n) van a is de som van de eigenwaarden van A gelijk aan -a²? (TIP: steun op de theorie).

Mijn antwoord: det(A)=-a² - 8(a - 6) dus als a = 6.

Kan dit kloppen? Lijkt té eenvoudig.

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 11:43

Klopt volledig hoor :)
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 11:56

Waren alle vragen maar zo simpel op te lossen :lol: .

Nog een laatste vraagje: Is het mogelijk dat voor bepaalde waarde(n) van a dim(im(A)) = 1 is?
Zo ja, bereken dan a. Is dit niet het geval motiveer dan grondig je antwoord.

Ik zou denken dat je je matrix eerst moet reduceren ( :x). Daaruit kan je dan de beeldruimte bepalen en daarvan vervolgens de dimensie OF de volgende regel gebruiken nl. dim (im(A)) = rang (A).

Ik zou echter niet weten hoe ik hier aan moet beginnen en heb problemen met het reduceren van zo'n matrix (als dat eigenlijk wel nodig zou blijken)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:05

Ik zou het dan als volgt aanpakken:

Als dat kan, betekent dit zoveel als dat je de rang van matrix A kan herleiden tot 1 voor een welgekozen waarde van a. Dat betekent dus dat:

LaTeX

Kan je nu verder?

De rijen zijn dan allen rij-equivalent, hetzelfde geldt voor de kolommen.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:16

Ik snap niet wat je bedoelt met Geplaatste afbeelding. Er bestaat een x en een y waarvoor geldt dat x keer de eerste rij = y keer de tweede rij = de derde rij? Ik volg niet, sorry.

#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 12:25

Beter zou zijn:
LaTeX

Dus inderdaad wat je zegt.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#14

TheBrain

    TheBrain


  • >100 berichten
  • 139 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2012 - 13:11

Beter zou zijn:
LaTeX


Dus inderdaad wat je zegt.


Ik snap nog steeds niet wat dit juist inhoudt. Wat ben/doe je met die uitspraak?

#15

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2012 - 13:27

neem bijvoorbeeld de bovenste twee rijen:

a -4 2
-4 a -2

Voor x=1 en y=-1 zijn de rijen equivalent voor a=4.

Kan je nu voort?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures