Ik was bezig met differentiaal vergelijkingen voor mechanica en ik had een fout gemaakt bij het analyseren van de beweging van een vallend object met luchtweerstand dat proportioneel was met het kwadraat van de snelheid.
De differentiaal vergelijking is:
\(m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2 \rightarrow \frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v^2 = (\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)\)
Scheiding van variabelen geeft:
\(\frac{dv}{(\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)} = dt\)
Opdelen in fracties geeft vervolgens:
\(\frac{1}{(\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)}} = \frac{A}{\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2 + \frac{B}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v^2}\)
Dit geeft vervolgens het stelsel vergelijkingen:
\(\sqrt{g}(A+B) = 1
\sqrt{\frac{k}{m}} v(A-B) = 0 \rightarrow A = B
\rightarrow A = B = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Nu hebben we een integraal die we makkelijk kunnen evalueren, de primitieve van deze functie is:
\(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{kg}} \ln|\frac{g + \sqrt{\frac{kg}{m}}v}{g - \sqrt{\frac{kg}{m}}v}| = t+c\)
Eis is dat v(0) gelijk is aan 0. Als ik vervolgens v als functie van t schrijf krijg ik het volgende:
\(v(t) = \sqrt{\frac{m}{kg}} \frac{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) -1}{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) + 1}\)
Maar volgens het antwoord achterin het boek is dit:
\(v(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}} \frac{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) -1}{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) + 1}\)
Ik heb meerdere malen gezocht naar fouten, maar ik heb niets kunnen vinden. Ergens is er iets fout gegaan, misschien dat een van jullie weet wat ik hier fout heb gedaan.