Springen naar inhoud

Cartesiaanse vergelijking van een vlak



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 09:12

In mijn cursus geven ze de volgende formules voor de cartesiaanse vergelijking van een vlak voor 3 punten (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) en (p1, p2, p3):

ax + by + cz = d

a= aa2b3 - a3b2
b = a3b1 - a1b3
c= a1b2 - a2b1
d = -a1p2b3 + a1b2p3 - a2b1p3 + a2b3p1 - a3b2p1 + a3b1p2

Dan vragen ze zoek de cartesiaanse vergelijking van het vlak door:

(a) (1, 2, -4), (2, 3, 7) en (4, -1, 3)

Wanneer ik de formules van hierboven gebruik komt dit echter langs geen kanten uit; ziet iemand de fout ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juni 2012 - 09:39

Ben je zeker dat a en b punten van het vlak zijn? Zijn het geen richtingsvectoren...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 09:44

Daar ben ik vrij zeker van ja. De oorspronkelijke vraag was nl.

1) Veronderstel dat de parametervergelijking van een vlak in R³ gegeven is door:

x= p1 + a1.A + b1.B
y= p2 + a2.A + b2.B
z = p3 + a3.A + b3.B

Hier zijn a,b, p toch 3 niet collineaire punten ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 juni 2012 - 09:44

In mijn cursus geven ze de volgende formules voor de cartesiaanse vergelijking van een vlak voor 3 punten (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) en (p1, p2, p3):

ax + by + cz = d

a= aa2b3 - a3b2
b = a3b1 - a1b3
c= a1b2 - a2b1
d = -a1p2b3 + a1b2p3 - a2b1p3 + a2b3p1 - a3b2p1 + a3b1p2


Weet je wat hier staat ... ?

a= aa2b3 - a3b2

Hier moet staan: a= a2b3 - a3b2

Bereken deze a eens?


Vraag: de uitdrukking(en) voor a, b en c, heb je daar een afleiding van gezien?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juni 2012 - 09:46

1) Veronderstel dat de parametervergelijking van een vlak in R³ gegeven is door:

x= p1 + a1.A + b1.B
y= p2 + a2.A + b2.B
z = p3 + a3.A + b3.B

Hier zijn a,b, p toch 3 niet collineaire punten ?


Nee, hier zijn a en b richtingsvectoren van het vlak, enkel p is een punt van het vlak...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 juni 2012 - 09:51

Daar ben ik vrij zeker van ja. De oorspronkelijke vraag was nl.

1) Veronderstel dat de parametervergelijking van een vlak in R³ gegeven is door:

x= p1 + a1.A + b1.B
y= p2 + a2.A + b2.B
z = p3 + a3.A + b3.B

Hier zijn a,b, p toch 3 niet collineaire punten ?


Kijk eens, waarom geef je niet gelijk de gehele opgave, want je zet jezelf (en ons) mooi op het verkeerde been ...

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:08

Kijk eens, waarom geef je niet gelijk de gehele opgave, want je zet jezelf (en ons) mooi op het verkeerde been ...


Klopt, ik had hier inderdaad beter onmiddellijk de gehele opgave gegeven; ik had er echter niet bij stil gestaan dat het in dit geval richtingsvectoren konden zijn. Vandaar...

Nee, hier zijn a en b richtingsvectoren van het vlak, enkel p is een punt van het vlak...


Ok, wat is dan nu de eenvoudigste methode om de vergelijking van een vlak door 3 punten de bepalen ?
Het is mogelijk dan via de parametervergelijking van een vlak door 3 punten; maar dit is wel zeer omslachtig.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:10

Ken je een verband tussen richtingsvectoren (van een rechte resp. vlak) en punten (op die rechte resp. vlak)? Dat is leerstof (ruimte)meetkunde en dat heb je hier wel nodig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:21

Wel, in mijn cursus bespreken ze R3 van vlakken en rechten op 3 pg's. Ik herinner me nog wel dat ik dit in het middelbaar al wel eens gezien heb; maar hoe dit net zat weet ik niet meer.

Bv. voor een rechte

Je hebt de vectorvergelijking van een rechte

v = (1 - A).v1 + A.v2

We kunnen dit coördinaatgewijs naar de parameter vergelijking schrijven en bekomen

x = x1 - Ax1 + Ax2
y = y1 - Ay1 + Ay2

Dit kunnen we omvormen naar de cartesiaanse vergelijking van een rechte

A = LaTeX
A = LaTeX

LaTeX = LaTeX

y - y1 = LaTeX .(x - x1)

Bedoel je deze verbanden ?

Veranderd door Biesmansss, 04 juni 2012 - 10:23

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:24

We kunnen dit coördinaatgewijs naar de parameter vergelijking schrijven en bekomen

x = x1 - Ax1 + Ax2
y = y1 - Ay1 + Ay2


En dit kan je ook nog schrijven als:

x = x1 + A(x2-x1)
y = y1 + A(y2-y1)

Vergelijk dat met

x = x1 + Aa1
y = y1 + Aa2

De richtingsvector (a1,a2) is dus gelijk aan...? Analoog voor vlakken, maar dan met twee richtingsvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:40

Volg eerst methode TD.

Het is mogelijk dan via de parametervergelijking van een vlak door 3 punten; maar dit is wel zeer omslachtig.

Dat hoeft niet ...
Ken je ook het uitproduct van twee vectoren en de betekenis? Notatie: a x b (a en b zijn vectoren)

Veranderd door Safe, 04 juni 2012 - 10:41


#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:40

Dat hoeft niet ...
Ken je ook het uitproduct van twee vectoren en de betekenis? Notatie: a x b (a en b zijn vectoren)


Neen, dit ken ik jammer genoeg niet; maar het is ondertussen opgelost.
Toch ook bedankt voor de welwillendheid om te helpen! :)

De richtingsvector is (x2 - x1, y2 - y1)

Dus voor (a) (1, 2, -4), (2, 3, 7) en (4, -1, 3) kunnen we best eerst twee richtingsvectoren a en b bepalen

stel a = ((4, -1, 3) - (1, 2, -4)) en b = ((2, 3, 7)-(1, 2, -4))

a = (3, -3, 7)
b = (1, 1, 11)
p = (1, 2, -4)

20x + 13y - 3z = 58

En het klopt!
Hartelijk dank voor de hulp TD!

Veranderd door Biesmansss, 04 juni 2012 - 10:41

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:43

Inderdaad, als vuistregel toch best te onthouden: je kan richtingsvectoren 'maken' door punten van elkaar af te trekken. Bij een vlak moet je er wel voor zorgen dat je twee niet-evenwijdige richtingsvectoren 'maakt'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:50

Hoe check je of twee richtingsvectoren evenwijdig zijn ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juni 2012 - 10:51

Indien ze geen veelvouden van elkaar zijn, zijn ze niet evenwijdig; anders wel.

Voor drie niet-collineaire punten p,q,r die (dus) een vlak bepalen komt dat neer op het moeten 'mengen'; je kan dus niet p-q en q-p als richtingsvectoren nemen, maar wel p-q en q-r of p-q en p-r etc.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures