Springen naar inhoud

Eigenwaarde van matrices bewijs



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 14:16

Zij A een (m x m)-matrix. Dan is V een eigenwaarde van A als en slechts als
det(A - V.1n) = 0 (waarbij 1n staat voor de eenheidsmatrix).

Bewijs:

V is een eigenwaarde van A
<=> ∃(x1, ..., xm) ∈ Rm met (x1, ..., xm) verschillend van (0, ..., 0) zodat

(A - V.1n) .LaTeX = LaTeX



<=> (A - V.1n) is niet inverteerbeer
<=> Det(A - V.1n) = 0

IK snap de eerste stap niet zo goed. Hoe komen ze hieraan ? Weet iemand dit ?

Veranderd door Biesmansss, 04 juni 2012 - 14:20

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2012 - 14:22

Definitie: v is een eigenwaarde als en slechts als er een vector x (eigenvector genoemd) bestaat zodat Ax = v.x, of nog Ax - vx = 0. Nu breng je dat in matrixformaat om x te kunnen afzonderen: (A-v.I)x = 0.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 14:27

Achzo, mag dat gewoon ja ?
Dit distributief afzonderen ? :D

En omdat (x1, ..., xm) verschilt van 0 moet (A - V.1n) = 0 en kan deze dus niet inverteerbaar zijn.

Veranderd door Biesmansss, 04 juni 2012 - 14:29

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2012 - 14:32

Achzo, mag dat gewoon ja ?
Dit distributief afzonderen ? :D

Dat mag toch gewoon voor matrices in het algemeen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 14:35

Ahzo, dat wist ik niet 100% zeker.
Bedankt om het snel even te verduidelijken! :)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 15:17

Extra vraag:

We weten dat A en At dezelfde eigenwaarden hebben. Het hoeft echter niet zo te zijn dat ze dan ook dezelfde eigenvectoren hebben. Vind een voorbeeld dat aantoont dat dit inderdaad niet het geval hoeft te zijn.

Enige suggestie ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2012 - 15:31

Bekijk LaTeX
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 15:40

Als ik alles goed heb uitgerekend krijg je voor A: {(0, a), (b, 0)}
en voor At: {(c, c), (d, 0)}

Dit zijn inderdaad twee verschillende basissen van R2 en dus voldoet het voorbeeld.
Bedankt!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2012 - 15:42

Inderdaad. In het bijzonder: voor eigenwaarde 3 vind je respectievelijk eigenvectoren (0, 1) en (1, 1)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 15:54

In de theorie staat ook het volgende:

"Merk op dat we de k-de macht van A op een eigenvector gemakkelijk kunnen uitrekenen. (Hoe ?)"

Wat bedoelen ze hier nu net mee ? Laten we even uw matrix van net bekijken ?

LaTeX

Dus deze matrix op een eigenvector bedoelen ze dan:


LaTeX . LaTeX ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2012 - 16:00

Ja... Maar je voor een eigenvector x van A dat Ax = ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 16:04

A.x = a.x (met a ∈ R)
dus de k-de macht hiervan wordt:

ak.xk ?

'ak' is triviaal, maar waarom zou x zo eenvoudig uit te rekenen zijn ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2012 - 16:10

Zo moet je dat niet zien... Hoe ik het zie, bedoelen ze dat Ak x makkelijk te berekenen valt. Wat jij zegt, betwijfel ik zelfs of dat gedefinieerd is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2012 - 16:20

Ok. Maar waarom zou Ak.x makkelijker te berekenen zijn dat Ak ? Mag je dit dan gewoon zien als ak.x ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 juni 2012 - 16:22

Akx = Ak-1(Ax) = ...

Overigens, het is makkelijk, maar als je de stelling kent rond P-1AP = L met P je eigenvectoren in kolommen en L je eigenvectoren, dan is Ak ook heel makkelijk.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures