[wiskunde] Eigenwaarde van matrices bewijs

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 04-06-'12, 15:16

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Eigenwaarde van matrices bewijs

Zij A een (m x m)-matrix. Dan is V een eigenwaarde van A als en slechts als

det(A - V.1n) = 0 (waarbij 1n staat voor de eenheidsmatrix).

Bewijs:

V is een eigenwaarde van A

<=> ∃(x1, ..., xm) ∈ Rm met (x1, ..., xm) verschillend van (0, ..., 0) zodat

(A - V.1n) .
\(\begin{pmatrix}x1 \\ ... \\ xm \end{pmatrix}\)
=
\(\begin{pmatrix}0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}\)
<=> (A - V.1n) is niet inverteerbeer

<=> Det(A - V.1n) = 0

IK snap de eerste stap niet zo goed. Hoe komen ze hieraan ? Weet iemand dit ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 15:22

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Definitie: v is een eigenwaarde als en slechts als er een vector x (eigenvector genoemd) bestaat zodat Ax = v.x, of nog Ax - vx = 0. Nu breng je dat in matrixformaat om x te kunnen afzonderen: (A-v.I)x = 0.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 15:27

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Achzo, mag dat gewoon ja ?

Dit distributief afzonderen ? :D

En omdat (x1, ..., xm) verschilt van 0 moet (A - V.1n) = 0 en kan deze dus niet inverteerbaar zijn.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 15:32

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Biesmansss schreef: ↑ma 04 jun 2012, 15:27
Achzo, mag dat gewoon ja ?

Dit distributief afzonderen ? :D
Dat mag toch gewoon voor matrices in het algemeen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 15:35

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Ahzo, dat wist ik niet 100% zeker.

Bedankt om het snel even te verduidelijken! :)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 16:17

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Extra vraag:

We weten dat A en At dezelfde eigenwaarden hebben. Het hoeft echter niet zo te zijn dat ze dan ook dezelfde eigenvectoren hebben. Vind een voorbeeld dat aantoont dat dit inderdaad niet het geval hoeft te zijn.

Enige suggestie ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 16:31

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Bekijk
\(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 16:40

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Als ik alles goed heb uitgerekend krijg je voor A: {(0, a), (b, 0)}

en voor At: {(c, c), (d, 0)}

Dit zijn inderdaad twee verschillende basissen van R2 en dus voldoet het voorbeeld.

Bedankt!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 16:42

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Inderdaad. In het bijzonder: voor eigenwaarde 3 vind je respectievelijk eigenvectoren (0, 1) en (1, 1)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 16:54

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

In de theorie staat ook het volgende:

"Merk op dat we de k-de macht van A op een eigenvector gemakkelijk kunnen uitrekenen. (Hoe ?)"

Wat bedoelen ze hier nu net mee ? Laten we even uw matrix van net bekijken ?
\(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\)
Dus deze matrix op een eigenvector bedoelen ze dan:
\(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\)
.
\(\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\)
?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 17:00

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Ja... Maar je voor een eigenvector x van A dat Ax = ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 17:04

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

A.x = a.x (met a ∈ R)

dus de k-de macht hiervan wordt:

ak.xk ?

'ak' is triviaal, maar waarom zou x zo eenvoudig uit te rekenen zijn ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 17:10

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Zo moet je dat niet zien... Hoe ik het zie, bedoelen ze dat Ak x makkelijk te berekenen valt. Wat jij zegt, betwijfel ik zelfs of dat gedefinieerd is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 17:20

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Ok. Maar waarom zou Ak.x makkelijker te berekenen zijn dat Ak ? Mag je dit dan gewoon zien als ak.x ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 04-06-'12, 17:22

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Eigenwaarde van matrices bewijs

Akx = Ak-1(Ax) = ...

Overigens, het is makkelijk, maar als je de stelling kent rond P-1AP = L met P je eigenvectoren in kolommen en L je eigenvectoren, dan is Ak ook heel makkelijk.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”