[wiskunde] Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 139
Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
De oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn gegeven door y(x) = C1e^2x + C2e^3x + xe^3x C1, C2 € R
De eerste twee termen hebben betrekking tot de algemene oplossing van de gereduceerde DV. Men ziet dat de determinant > 0 en s1=2, s2=3. Dit bekomt men normaliter door de gereduceerde vergelijking op te lossen dmv de karakteristieke vergelijking.
De derde term drukt de particuliere oplossing uit van de niet-gereduceerde DV. Mijn vermoeden is dat het rechterlid van de DV in de vorm is van: [(A)x]e^3x.
Kan er me iemand op weg helpen?
De eerste twee termen hebben betrekking tot de algemene oplossing van de gereduceerde DV. Men ziet dat de determinant > 0 en s1=2, s2=3. Dit bekomt men normaliter door de gereduceerde vergelijking op te lossen dmv de karakteristieke vergelijking.
De derde term drukt de particuliere oplossing uit van de niet-gereduceerde DV. Mijn vermoeden is dat het rechterlid van de DV in de vorm is van: [(A)x]e^3x.
Kan er me iemand op weg helpen?
- Berichten: 24.578
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Kan je het stuk van de differentiaalvergelijking dat voor de homogene oplossing zorgt al opschrijven?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 139
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
TD schreef: ↑ma 04 jun 2012, 15:54
Kan je het stuk van de differentiaalvergelijking dat voor de homogene oplossing zorgt al opschrijven?
Aaah nu zie ik het: de karakteristieke vergelijking is: (s-3)(s+2)=0 dus s²-s-6=0 en aldus is het stuk dat voor de homogene vergelijking zorgt: y" - y' - 6 = ...
- Berichten: 24.578
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
TheBrain schreef: ↑ma 04 jun 2012, 16:18
Aaah nu zie ik het: de karakteristieke vergelijking is: (s-3)(s+2)=0 dus s²-s-6=0 en aldus is het stuk dat voor de homogene vergelijking zorgt: y" - y' - 6 = ...
Niet helemaal, tenzij je in de opgave een minteken in een exponent vergat. Er ontbreekt ook een y bij de constante term...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 139
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Correctie: de kar.vgl. is (s-3)(s-2)=0 waaruit volgt s²-5s+6=0 en dus is het stuk dat voor de homogene vergelijking zorgt: y" - 5y' + 6 = 0
- Berichten: 24.578
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Nee, je vergeet weer y... Maar verder oké, dit moet het linkerlid zijn om tot die homogene oplossing te komen en die homogene oplossing is onafhankelijk van het rechterlid. Wat moet dat rechterlid worden opdat xe^(3x) een particuliere oplossing kan zijn?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 139
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
A.e^3x ? met A een constante
- Berichten: 24.578
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Eender welke constante...? Hoe kan je dit te weten komen? Je weet dat de particuliere oplossing aan de differentiaalvergelijking moet voldoen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 139
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
De particuliere oplossing van de niet-gereduceerde DV = xe^3x.
Daaruit volgt dat de gedaante van de particuliere oplossing gelijk is aan A.e^3x en dus is de coëfficiënt A gelijk aan 1.
Een differentievergelijking die voldoet is dus y" - 5y' + 6y = e^3x
Daaruit volgt dat de gedaante van de particuliere oplossing gelijk is aan A.e^3x en dus is de coëfficiënt A gelijk aan 1.
Een differentievergelijking die voldoet is dus y" - 5y' + 6y = e^3x
- Berichten: 24.578
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Om het rechterlid te vinden kan je ook hier inspiratie opdoen.
Ik weet niet wat er achter die 'dus' schuilt (hopelijk een berekening door het voorstel in de differentiaalvergelijking te substitueren en niet gewoon 1 omdat dat ook de coëfficiënt is van x.e^(3x)); maar het antwoord klopt. Let wel: differentiaalvergelijking, niet differentievergelijking.TheBrain schreef: ↑ma 04 jun 2012, 19:08
Daaruit volgt dat de gedaante van de particuliere oplossing gelijk is aan A.e^3x en dus is de coëfficiënt A gelijk aan 1.
Een differentievergelijking die voldoet is dus y" - 5y' + 6y = e^3x
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 139
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Thank you very much!!!
- Berichten: 24.578
Re: Stel een differentiaalvergelijking op: oplossingen reeds gegeven
Oké, graag gedaan en succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)