Springen naar inhoud

Notatie Ring C[x]/(x^n-c)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juni 2012 - 16:11

De ring C[x]/(xn c),

zijn dat de complexe polynomen met als graad max n-1?

Kan iemand toelichting geven op die notatie... is het een quotient ring of, ik snap vooral die kleine c niet, deze staat voor een niet 0 element uit de ring C?
Wanneer ben je bijv. een element van C[x]/(xn −2) en wanneer van C[x]/(xn −5)?


Beschouw voor een n de functies p : C[x]/(x2n c2) --> C[x]/(xn c) en

q :C[x]/(x2nc2) --> C[x]/(xn+c) die f0+· · ·+ f2n1x2n1 naar ( f0+c fn)+

· · ·+( fn1+c f2n1)x2n1 brengen en ( f0c fn)+· · ·+( fn1c f2n1)x2n1 respectievelijk.

Gegeven een f, kan men p(f), q(f) berekeken met n optellingen, n aftrekkingen en n vermenigvuldigingen met de constante c.

Ik snap die kleine c niet. Dit bovenstaande is een beschrijving van een algoritme om snel een convolutie/vermenigvuldiging te doen van twee rijen/functies in de ring.

Maar die c? Stel nu ik ben het aan het programmeren, en ik vraag de gebruiker om twee rijen, bijv. in de vorm van [1,2,3,4,5,6,7] en [3,2,4,5,6,1,4].
Ik zou zeggen dan werk je in bovenstaande ring met n=8, maar wat is die c nu?

Veranderd door Heidegger, 05 juni 2012 - 16:12


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 08:01

Die c is toch gewoon om aan te geven dat je equivalentieklassen modulo Xn - c beschouwt? Hier is dan uiteraard c gewoon een getal, willekeurig, en kon je even goed vervangen door a, of w of wortel... Korter gezegd: veelvouden van Xn - c zijn in deze ring 0. Als je c dus 2 is, ben je 0 als je een veelvoud bent van Xn - 2 en als c is 5, dan ben je 0 als je een veelvoud bent van Xn - 5... Dikwijls duidt men de equivalentieklassen aan door een streep boven het element te zetten. Denk ook aan de analogie met, bijvoorbeeld, LaTeX .

Je laatste vraag/opmerking snap ik niet goed. Je werkt over veeltermen, dus wat voor rij geeft men op? Een rij van coefficienten?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 19:17

Bedankt voor je antwoord, zet me weer in de goede richting. Openingspost is nogal gebrekkig geformuleerd zie ik, omdat ik het ook niet meer helemaal helder heb.

Het gaat hier dus om een polynoomring met complexe coefficienten modulo een veelterm?
Het is voor mij moeilijk in te zien wat precies de elementen van deze ring zijn, in principe komt er dus geen x^n term voor onder de elementen toch..

Nu een polynoom kunnen we ook opvatten als rijtje, met bijv 1+2x+3x^2+x^4.. als [1,2,3,0,4,...]
Met als voordeel dat de convolutie van twee van zulke rijtjes het product is van de bijbehorende polynomen.

Gegeven 2 van zulke rijtjes/polynomen wat is dan die C[x]/(x^n-c) ring waarin je gaat werken? Ik zou zeggen neem voor n de lengte van de langste rij minus (hoogste coefficient: x^n-1). Alleen weer vraag ik me af wat je voor die c kiest?

Veranderd door Heidegger, 06 juni 2012 - 19:18


#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 20:30

Dat is niet hoe je het moet bekijken... Modulo een veelterm werken is eigenlijk het volgende: zij I een ideaal in C[X] (merk op: (Xn - c) is zoiets), we zeggen dat f = g mod I als f-g in I zit. Dat betekent dus onder meer dat Xn = c in deze quotiëntring. Dat stemt overeen met het feit dat je stelt dat Xn - c = 0. Dus: C[X]/(Xn - c) = {f + (Xn - c) | f in C[X]}.

Het probleem met wat jij vraagt, is dat je dat dus niet zo kunt zeggen: X-1 heeft in élke quotiëntring een betekenis, alleen hangt de exacte betekenis af van over welke ring je werkt. Het enige wanneer je het (misschien, weet ik nog niet zeker) kunt zeggen, is als je weet hoe je element zich vermenigvuldigen en dergelijke.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures