Springen naar inhoud

Riemann-integraal



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 12:51

Zij f: [a, b] -> R een begrensde functie. Stel

S(f) = sup {S(f, P) | P verdeling van [a, b]}

Sb(f) = inf {S(f, P) | P verdeling van [a, b]}


We noemen f (Riemann)-integreerbaar als S(f) = Sb(f)

Noem 'Sb' de bovensom.
Hoe moet ik het rode deel net lezen ? Ik weet wat ermee bedoelt wordt maar ik weet niet hoe ik dit effectief moet lezen.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 12:52

Weet je wat het infimum van een verzameling is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 12:53

Yep, supremum is de kleinste bovengrens en infimum de grootste ondergrens.
De bovensom is normaal de som van de oppervlaktes gevormd door de supremum's (vice versa voor ondersom).
Maar hoe lees ik dit er net in.

Veranderd door Biesmansss, 06 juni 2012 - 12:57

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 13:01

Cru gesteld neem je je kleinste bovensom... Het is vooral een zware formulering om goed te doorgronden eigenlijk. Maar bij een eindige verzameling zou je ipv inf mogen schrijven min. Snap je dan beter wat er wordt bedoeld? Nu bedoelen ze eigenlijk hetzelfde, maar bij een oneindige verzameling bestaat je minimum niet per se (dat heb je wel gezien?) en dus werk je met inf.

Wat je dus eigenlijk doet, is al je bovensommen beschouwen, aan deze bovensommen een zo krachtig mogelijk ondergrens stellen, en dit is je infimum.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 13:11

Een zo krachtig mogelijke ondergrens, hoe bedoel je dit juist ?
Maar ik denk dat het begint te komen, je bekijkt gewoon je verzameling van ondersommen (resp. bovensommen).
Dus bv. {S(f, P1), S(f, P2), S(f, P3), ... S(f, Pn)} met allemaal verschillende verdelingen, correct ?
Dan is het S(f) = sup{S(f, P) | P verdeling van [a, b]}, de grootste ondersom ?

Als de grootste van deze ondersommen gelijk is aan de kleinste van deze bovensommen dan is de integraal Riemann-integreerbaar ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 13:18

Je bekijkt inderdaad allemaal verschillende onder-, resp. bovensommen met andere verdelingen. Vervolgens neem je van deze verzameling het sup resp. inf. Maar nu is het bedrieglijke dat dit niet per se de grootste ondersom of kleinste bovensom moet zijn. Intuïtief is het dit wel uiteraard. Maar het supremum van een oneindige verzameling is niet per se het maximum (wat overeenkomt met 'de grootste') van die verzameling. Het kan immers perfect zijn dat het maximum gewoonweg niet bestaat. Daarom neem je het supremum. Dat bestaat immers altijd.

Om dat wat te illustreren: bekijk eens de verzameling {1 - (1/n) | n in N}. Het maximum van deze verzameling bestaat niet, maar het supremum is 1. Hetzelfde heb je met je onder- en bovensommen. Intuïtief kun je dat zo aanvoelen (we weten immers wat we willen bekomen): ongeacht hoe klein je je partitie hebt genomen, je kan ze steeds nog wat kleiner nemen om je oppervlakte nog beter te benaderen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 13:27

Klopt, ik snap het helemaal.
Bedankt Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 13:29

Graag gedaan :). Succes nog!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures