Springen naar inhoud

2 bewijzen i.v.m. Riemannintegreerbaarheid



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 14:19

1) Zij f: [a, b] -> R een begrensde functie. Beschouw volgende uitspraken over f.

(a) f is Riemannintegreerbaar over [a, b]

(b) Voor alle e > 0, bestaat er een verdeling P van [a, b] zodat Sb(f, P) - So(f, P) < e.


2) Toon aan: als f Riemannintegreerbaar is op het interval [a, b] en f(x) ≥ 0 voor elke x ∈ [a, b], dan is LaTeX ≥ 0.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1)

Bewijs (a) => (b)

∀ e > 0, ∃ P verdeling van [a, b] zodat Sb(f, P) - So(f, P) < e

Kies een willekeurige e > 0. Stel Pn is een fijnere verdeling dan P, dus P ⊂ Pn.
Omdat de functie Riemann-integreerbaar is, weten we dat

So(f) = Sb(f)

met So(f) = sup{So(f, P) | P verdeling van [a, b]}
met Sb(f) = inf{Sb(f, P) | P verdeling van [a, b]}

We weten dat voor LaTeX P:

So(f, Pn) = So(f)
Sb(f, Pn) = Sb(f)

Hieruit volgt dat

So(f, Pn) - Sb(f, Pn) = 0 < e

Klopt dit al ?

Veranderd door Biesmansss, 06 juni 2012 - 14:21

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 14:34

Je idee ziet misschien wel goed (ik vind het moeilijk je exacte gedachtegang te volgen), maar echt goed opgeschreven is het niet...

Stel dus dat f riemann integreerbaar is. Kies e>0 willekeurig. Per definitie van boven- en ondersom bestaan er partities P1 en P2 zodat So(f, P1) - ... < ... en Sb(f, P2) - ... < ... Kun je aanvullen? Waarom neem ik verschillende partities?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 14:43

So(f, P1) - So(f, P2) < 0 < e/2 < e en Sb(f, P2) - Sb(f, P1) < 0 < e/2 < e

Waarom neem je verschillende partities, goede vraag...
Heeft het iets met optellen te maken ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 14:47

Nee, dat is niet wat er op de puntjes moest komen :). Ik wil het Riemann integreerbaar gebruiken.

So(f, P1) - So(f) < e/2 en Sb(f, P2) - Sb(f) < e/2

De verschillende partities is gewoon omdat je niet weet dat onder- en bovensom op dezelfde moment klein genoeg worden; ze kunnen een andere partitie nodig hebben. Maar nu kun je natuurlijk wel een P kiezen die een ... is van zowel P1 als P2 en dus gewoon schrijven ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 14:58

Die een verfijning is van zowel P1 als P2 en dus kun je gewoon schrijven:

So(f, P') - So(f) < e/2 en Sb(f, P') - Sb(f) < e/2

Maar wat ga je dan doen ? Via optelling kom ik er niet en via aftelling weet ik niet zeker of de ongelijkheid blijft gelden ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 15:16

Ja, sorry, klopt. Komt door foutje van mijn kant. Bij de ondersom heb je het omgekeerde: So(f) - So(f, P) < e/2. Snap je waarom?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 16:29

Omdat we So(f, P) zo dicht mogelijk kunnen krijgen bij So(f) als we maar willen, maar So(f, P) altijd kleiner blijft als So(f) ?

We krijgen dan:
So(f) - So(f, P') < e/2
Sb(f, P') - Sb(f) < e/2

Wanneer ik deze optel krijg ik Sb(f, P') - So(f, P') + So(f) - Sb(f) = Sb(f, P') - So(f, P') < 1

Moeten we nu het omgekeerde ook nog bewijzen ? Want dit is (a) => (b), niet ?

Veranderd door Biesmansss, 06 juni 2012 - 16:41

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 16:44

Omdat we So(f, P) zo dicht mogelijk willen krijgen bij So(f) als we willen, maar So(f, P) altijd kleiner blijft als So(f) ?

Dat is inderdaad de reden :). Ik denk alleen dat je op het einde van je optellen bedoelt "< e" ipv "1"?

En dit is inderdaad a => b. Nu nog b => a. Bekijk daarvoor Sb(f) - So(f) of So(f) - Sb(f) (aan jou om de juiste te kiezen) en schat dit af. Zowel naar onder als naar boven.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 16:59

-e < So(f) - Sb(f) < e

Dan ?
En dan werken met:
-e < So(f, P) - Sb(f, P)
e > Sb(F, P) - So(f, P) ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 17:11

Betekent dit niet, per definitie dat So(f) = Sb(f)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 17:15

Ik zie niet onmiddelijk in waarom.
Waarom mogen we trouwens zomaar deze afschatting maken ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 17:23

Ik dacht dat je die afschatting zelf begreep :). Neem een partitie P, dan Sb(f) - So(f) < Sb(f, P) - So(f, P) < e... Als je e nu willekeurig (klein) is, betekent dit dat Sb(f) - So(f) = 0. Snap je?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 17:28

Dat snap ik zeer zeker,
Ik had dat zelfs eerst opgeschreven, ik was enkel niet zeker of ik 'Sb(f) - So(f) < Sb(f, P) - So(f, P)' mocht gebruiken; maar dat mag uiteraard wel gezien de def. van Sb(f) (resp. So(f)).
Alvast bedankt om me wat te helpen met het eerste bewijs! :D

Nu (2) nog ? Ik vind dit maar een rare vraag aangezien de oppervlakte toch altijd positief is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juni 2012 - 17:30

Een integraal kan toch perfect negatief zijn ;)? Denk maar aan de constante functie -1. De integraal van 1 tot 3 over deze functie is...?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2012 - 17:36

Ik dacht dat je die afschatting zelf begreep :). Neem een partitie P, dan Sb(f) - So(f) < Sb(f, P) - So(f, P) < e... Als je e nu willekeurig (klein) is, betekent dit dat Sb(f) - So(f) = 0. Snap je?


Om nog even te muggenziften;

moet dit niet 'Sb(f) - So(f) Sb(f, P) - So(f, P) < e' zijn ? Dit verandert uiteraard niets aan het bewijs, het is gewoon een klein detailtje voor constante functies. :)

Een integraal kan toch perfect negatief zijn ;)? Denk maar aan de constante functie -1. De integraal van 1 tot 3 over deze functie is...?


-2 ? :P

Ok, de opgave is dus toch niet vaag.

Veranderd door Biesmansss, 06 juni 2012 - 17:37

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures