[wiskunde] Afgeleide bepalen van een integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 06-06-'12, 21:18

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Afgeleide bepalen van een integraal

Gebruik de hoofdstelling van de integraalrekening om de afgeleide te berekenen van de functie

g: R -> R x |->
\( \int_0^{x^3} sin t^2 .dt \)
We weten dat
\( \int_0^{x^3} sin t^2 .dt \)
= F(x3) - F(0)

Met F de primitieve functie.

Een primitieve functie in dit geval is cos x.

Dus we krijgen:
\( \int_0^{x^3} sin t^2 .dt \)
= cos(x6) - cos(0)

= cos(x6) - 1

Akkoord dusver ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 21:37

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

De afgeleide naar wat?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 21:47

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Biesmansss schreef: ↑wo 06 jun 2012, 21:18
Gebruik de hoofdstelling van de integraalrekening om de afgeleide te berekenen van de functie

g: R -> R x |->
\( \int_0^{x^3} sin t^2 .dt \)
Dit is de gehele opgave, meer staat er niet.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 21:56

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Wel, daar het een functie is die x afbeeldt op ... lijkt het mij de bedoeling om de afgeleide naar x te berekenen. Je idee is dus correct. Maar cos(t²) is toch geen primitieve van sin(t²)? Of mis ik iets :oops: ?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 22:00

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Drieske schreef: ↑wo 06 jun 2012, 21:56
Wel, daar het een functie is die x afbeeldt op ... lijkt het mij de bedoeling om de afgeleide naar x te berekenen. Je idee is dus correct. Maar cos(t²) is toch geen primitieve van sin(t²)? Of mis ik iets :oops: ?


Nee, ik denk dat je juist zit.

Maar hoe moet dit dan wel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 22:02

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Zoals je bezig bent, maar met de juiste primitieve ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 22:04

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Maar het komt er dus eerst en vooral op neer

De integraal is de som van de passende primitieven.

De afgeleide van de integraal geeft normaal functie f(x) dus de afgeleide van deze primitieve moeten ook deze f(x) geven ?

En ik moet dus de functie vinden waarvan sin(t2) de afgeleide is ?

Dit is niet zo eenvoudig ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 22:08

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Sorry, dit is niet wat je moet doen (al werkt het uiteraard ook, maar moeilijk hier). Gebruik dit.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-06-'12, 22:14

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Dus je bedoelt:

(
\( \int_0^{x^3} sin t^2 .dt \)
)' = sin x6 ?

Maar overal vermenigvuldigen ze dit ook nog allemaal met de afgeleide. Dus dan geeft dit uiteindelijk:
\( \int_0^{x^3} sin t^2 .dt \)
= sin x6.3x2

Waarom doen ze dit ? Dit vind ik in de hoofdstelling niet terug eigenlijk:
\( \int_a^{x} f(t).dt \)
= f(x)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 00:54

JorisL

Berichten: 555

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Dat is omdat in de hoofdstelling gewoon x als bovengrens gegeven wordt.

Ik ga ervan uit dat je met je laatste vgl dit bedoeld:
\(\frac{d}{dx} \cdot\left(\int_a^{x} f(t).dt\right) = \frac{d\left[F(x)-F(a)\right]}{dx} = f(x)\)
met F(a) uiteraard constant. Dus die term valt weg

Maar in jou geval geldt
\(\frac{d}{dx} \left(\int_0^{x^3} f(t).dt\right) = \frac{d\left[F(x^3)-F(0)\right]}{dx}\)
Zie je nu in waar die
\(3x^2\)
vandaan komt?
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 00:58

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Het is in elk geval niet de bedoeling om de primitieve te vinden, de opgave is zelfs ontworpen zodat dat 'niet kan'. Je moet inderdaad de hoofdstelling gebruiken, die stelt:
\(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \int_a^x f(t) \, \mbox{d}t = f(x)\)
Maar nu moet je rekening houden met de kettingregel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 08:49

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Ik begin te zien waar de '3x2' vandaan komt ja, maar waarom staat deze er dan niet bij in het voorschrift van de integraal ?

Dus als er nu het volgende stond:
\( \int_x^{x^3} sin t^2 .dt \)
Dan kreeg ik

Sin x6 .3x2 - sin x2

Akkoord ?

Zou je de hoofdstelling dan eens willen verduidelijken ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 13:27

JorisL

Berichten: 555

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

De hoofdstelling is in essentie de stelling gegeven door TD hierboven.

De exacte stelling is misschien wat overkill.

Met tussenstappen is deze zoals ik eerder gezegd heb:
JorisL schreef: ↑do 07 jun 2012, 00:54
\(\frac{d}{dx} \cdot\left(\int_a^{x} f(t).dt\right) = \frac{d\left[F(x)-F(a)\right]}{dx} = f(x)\)
Daar bij geldt dat
\(\int \sin (x^2)\cdot dt = F(x)+C\)
. Met andere woorden, F is de primitieve van sin(x^2).
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 13:48

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Of niet per se via die primitieve; je wil g'(x) en je kan g zien als samenstelling van f, dezelfde integraal maar met bovengrens x i.p.v. x³ en h(x) = x³, dan is g(x) = f(h(x)) en volgt g'(x) = f'(h(x)).h'(x) waarbij de eerste factor uit de hoofdstelling volgt en de tweede voor de bijkomende factor 3x² (kettingregel) zorgt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 13:57

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide bepalen van een integraal

Aha, ok.

Wil je nog even de 'verbanden' verduidelijken ?

De afgeleide van de integraal is de oorspronkelijke functie en de integraal van de afgeleide is ook de oorspronkelijke functie ?

De primitieve is de functie waarvan de afgeleide f(x) is; dus m.a.w. is de integraal ook een primitieve ?

Ze vragen hier om de afgeleide van de integraal te berekenen , dus eigenlijk vragen ze om de oorspronkelijke functie te zoeken. In dit geval wordt het teken van de integraal gewoon ontheven zou ik zeggen.

Als oplossing (we hebben de eindoplossingen online staan) geven ze:

(
\(\int_a^{x^3} sin (t^2) . dt \)
)' = Sin x6 .3x2

Als er nu stond
\(\int_a^{x} sin (t^2) . dt \)
was dit dan wel gewoon

Sin x2 geweest ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”