[wiskunde] Verschil tussen notatie integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 07-06-'12, 09:53

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Verschil tussen notatie integraal

We hebben in onze cursus een stelling die zegt:

A.f is Riemannintegreerbaar en
\( \int_a^{b} (A.f) \)
= A.
\( \int_a^{b} f \)
En we hebben een paar pg's later een Propositie die zegt:
\( \int_a^{b} (A.f) (x).dx \)
= A.
\( \int_a^{b} f(x).dx \)
Wat is het verschil tussen deze twee notaties ? Wat is onder meer de functie van 'dx' juist, wil dit gewoon zeggen dat f de afgeleide is van een primitieve functie ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 11:34

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Verschil tussen notatie integraal

Ik weet ondertussen dat:

In de notatie
\( \int_a^{b} f(x).dx \)
heeft "dx" geen afzonderlijke betekenis. Men moet de notatie dus als een onscheidbaar symbool opvatten. De notatie
\( \int_a^{b} f(x).dx \)
is evenwel handig als voor de functie f een concreet functievoorschrift gegeven is.

Nu blijft mijn vraag min of meer overeind:

1) Wat is het verschil tussen bovenstaande Stelling en Propositie ?

2) Waarom is de "dx" handig voor integralen van een functie met een concreet functievoorschrift ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 13:35

JorisL

Berichten: 555

Re: Verschil tussen notatie integraal

dx geeft ten eerste aan wat je varieert tijdens het integreren. (belangrijk bij meervoudige integralen)

Op zich is die dx niet echt nodig. Maar bijvoorbeeld als je ergens een differentiaal vergelijking zoals
\(\frac{df}{dx}=f\)
hebt, kan je hier makkelijk van maken dat
\(\frac{df}{f} = dx\)
.

Het interessante is nu dat je hieruit f kan vinden door een onbepaalde integratie aan beide kanten.

Op deze manier kan je intuitief (volgens mij dan toch) een oplossing vinden voor dat type vergelijking.

Over je eerste punt, daar is eigenlijk geen verschil tussen. Ik vind het wel gevaarlijk om te schrijven (A.f)(x) want als A een functie van x is, mag je deze niet zomaar buiten de integraal brengen. Misschien dat hier iemand anders wat op aan te merken heeft.

Als je bvb 2 functies f en g hebt en je wilt de integraal van (f.g) kennen dan schrijf je vaak (f.g)(x) waarom weet ik niet, eventueel om het wat compacter te houden hoewel het in aantal tekens niet veel scheelt (alleen een 'x' minder)
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 14:04

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Verschil tussen notatie integraal

JorisL schreef: ↑do 07 jun 2012, 13:35
Over je eerste punt, daar is eigenlijk geen verschil tussen. Ik vind het wel gevaarlijk om te schrijven (A.f)(x) want als A een functie van x is, mag je deze niet zomaar buiten de integraal brengen. Misschien dat hier iemand anders wat op aan te merken heeft.

Als je bvb 2 functies f en g hebt en je wilt de integraal van (f.g) kennen dan schrijf je vaak (f.g)(x) waarom weet ik niet, eventueel om het wat compacter te houden hoewel het in aantal tekens niet veel scheelt (alleen een 'x' minder)
Men schrijft (f.g)(x) om te benadrukken dat, gegeven functies f en g, nu de productfuntie 'f.g' beschouwd wordt, de functiewaarde daarvan in x kan je dan noteren als (f.g)(x); per definitie is dit het product van de functiewaarden: f(x).g(x).

Op analoge manier kan je een scalair veelvoud van een functie invoeren, met A constant en f een functie is ook A.f een functie en de functiewaarde van deze functie in x valt dan te noteren als (A.f)(x); per definitie is dit gelijk aan A.f(x).

Denk ter vergelijking bijvoorbeeld aan de som van functies, die functie noteer je f+g en het beeld van x onder deze functie is (f+g)(x); per definitie gelijk aan f(x)+g(x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 14:06

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Verschil tussen notatie integraal

JorisL schreef: ↑do 07 jun 2012, 13:35
dx geeft ten eerste aan wat je varieert tijdens het integreren. (belangrijk bij meervoudige integralen)

Op zich is die dx niet echt nodig. Maar bijvoorbeeld als je ergens een differentiaal vergelijking zoals
\(\frac{df}{dx}=f\)
hebt, kan je hier makkelijk van maken dat
\(\frac{df}{f} = dx\)
.

Het interessante is nu dat je hieruit f kan vinden door een onbepaalde integratie aan beide kanten.

Op deze manier kan je intuitief (volgens mij dan toch) een oplossing vinden voor dat type vergelijking.

Over je eerste punt, daar is eigenlijk geen verschil tussen. Ik vind het wel gevaarlijk om te schrijven (A.f)(x) want als A een functie van x is, mag je deze niet zomaar buiten de integraal brengen. Misschien dat hier iemand anders wat op aan te merken heeft.

Als je bvb 2 functies f en g hebt en je wilt de integraal van (f.g) kennen dan schrijf je vaak (f.g)(x) waarom weet ik niet, eventueel om het wat compacter te houden hoewel het in aantal tekens niet veel scheelt (alleen een 'x' minder)
Klopt deze "dx" kan inderdaad handig zijn als 'steuntje'.

Daar heb je wel een punt, ik had er inderdaad moeten bijzetten dat A een element is van R. :)

Maar de stelling en de Propositie komen dus eigenlijk op hetzelfde neer, dan is het wel raar dat ze ettelijke pg's uit elkaar staan.

Bedankt!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 14:52

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Verschil tussen notatie integraal

Bij substituties heb je die dx weldegelijk nodig, anders krijg je een vrij ingewikeld verhaal.

bv: bij
\(\int 2t\,\sin t^2 dt\)
Ook komt die dx zeker niet zomaar uit de lucht vallen, maar dat is een nogal kryptisch verhaal.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 19:26

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Verschil tussen notatie integraal

tempelier schreef: ↑do 07 jun 2012, 14:52
Bij substituties heb je die dx weldegelijk nodig, anders krijg je een vrij ingewikeld verhaal.

bv: bij
\(\int 2t\,\sin t^2 dt\)
Ook komt die dx zeker niet zomaar uit de lucht vallen, maar dat is een nogal kryptisch verhaal.
Klopt!

Dit is mij duidelijk geworden in een andere oefening (zie hier).

Bedankt allemaal!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-06-'12, 19:28

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Verschil tussen notatie integraal

Biesmansss schreef: ↑do 07 jun 2012, 19:26
Klopt!

Dit is mij duidelijk geworden in een andere oefening (zie hier).

Bedankt allemaal!
Niks te danken hoor.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”