Springen naar inhoud

straal en middelpunt van een cirkel uitgaande van zijn 3d vergelijkingen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2012 - 09:22

Hi,

onlangs zocht ik wat extra vragen voor mijn dochter ivm. ruimtemeetkunde op het internet.
Daar kwam ik over de volgende vraag:

Gegeven , de 'great circle' met onderstaande set van vergelijkingen. Bereken de vergelijking van de bijhorende bol.
(De great circle is de cirkel die door het middelpunt van de bol gaat, dus de cirkel die je zou krijgen als je een bol doormidden snijdt).

Ik vraag me nu af, is er eigenlijk een manier om vanuit zo'n stel cirkelvergelijkingen het middelpunt en de straal van de cirkel af te leiden ?

Stel vergelijkingen van de great circle:

x+y+z = 3
x^2+y^2+z^2 + 10y - 4z -8 = 0

Oplossing zou moeten zijn: x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y -8z + 4 = 0, en van daaruit kan ik de straal en het middelpunt wel vinden, maar hoe doe je dat vanuit het bovenstaande stel vergelijkingen van de 'great circle'.

Thx
Danny
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2012 - 15:04

Ik hoop de vraag goede begrepen te hebben.

1. Herschrijf: x^2+y^2+z^2 + 10y - 4z -8 = 0 naar de middelpuntsvergelijking
2. Haal hier nu met middelpunt en de straal uit.

3. Herschrijf: x+y+z = 3 naar de normaal vorm.
4. Bepaal de afstand van met middelpunt tot het vlak.

5. Vindt de gewenste straal met de st. van Phyt.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 juni 2012 - 15:10

De tweede verg is een bol, noem dit B. De snijcirkel van B met het vlak (noem dit V) is de grote cirkel van de gevraagde bol (noem dit Bv)
Wat moet nu gelden voor het middelpunt van Bv?

Van tempelier krijg je gelijk het hele recept ...

#4

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2012 - 09:25

@ Tempelier en Pluimdrager:
Bedankt voor de tips en het recept. Ik staarde me blind op het feit dat de 2e vergelijking al een bol was en dacht dus dat zijn middelpunt moest gebruikt worden.
Maar het is inderdaad zoals jij zegt. Die oorspronkelijke bol wordt door een vlak gesneden en dat snijvlak is de bedoelde 'great circle', dan de afstand van dat vlak tot het middelpunt berekenen, en verder met pythagoras de straal van de cirkel en de bedoelde bol berekenen.

Klopt als een bus. Bedankt, ik kan weer slapen 's nachts ;-)


Nog @Drieske, ik heb Miels gecontacteerd vanwege de crosspost (waarvan ik mij bewust was), omdat het mij niet duidelijk was hoe ik mijn bericht in de andere groep moest verwijderen, als dat al gaat. Indien dat mogelijk is, graag even uitleg hoe ik een bericht hier kan verwijderen. thx.
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

#5

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2012 - 09:35

Misschien ten behoeve van anderen, de oplossing:

X^2+y^2+z^2+10y-4z-8 = 0 herschrijven als (x-0)^2+(y+5)^2+(z-2)^2 = 37, dus dit is een bol met middelpunt (0,-5,2) en straal wortel(37).

Dan afstand van middelpunt tot vlak x+y+z=3 bepalen.
Lijn van middelpunt loodrecht op vlak is L: (0,-5,2)+t(1,1,1) of met parameter vergelijkingen:

L: x=t
y= -5 + t
z=2+t

Snijpunt met vlak x+y+z=3:
t -5 -t +2+t = 3
dus t is 2

Invullen in parameter vergelijking geeft:

x=2
y=-3
z=4
en dit is al het middelpunt van de great circle en van de gezochte bol.

Dan nog afstand tussen middelpunt great circle en middelpunt originele bol:
D=wortel ( (0-2)^2 + (-5+3)^2 + (2-4)^2)
D= wortel (12)

Dan pythagoras om straal great circle te vinden
straal great cirkel is: wortel(37 -12) = 5

dus met die gegevens kan de vergelijking van de bol geschreven worden.

jeeeej
Danny
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 juni 2012 - 10:12

Prima! Succes verder.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures