[wiskunde] Som van stochastische variabelen

Fruitschaal

Beste allemaal,

Wederom een vraagje van mijn kant.

---

Toon aan dat de som van

\(X_1 + ... + X_r\)

van r onafhankelijke, geometrisch (p) verdeelde stoch. variabelen

\(X_1, ..., X_r\)

negatief-binomiaal(r,p) verdeeld is.[/b]

Het viel me al op dat ze onafhankelijk verdeeld zijn, dus

\(P(X_1 = x_1)\cdot...\cdotP(X_r = x_r) = P((X_1 = x_1) \cap ... \cap (X_r = x_r))\)

Dus

\(P((X_1 = x_1) \cap ... \cap (X_r = x_r)) = (1-p)^{x_1-1}p \cdot ... \cdot (1-p)^{x_r-1}p = p^r(1-p)^{x_1 +...+ x_r - r}\)

Dit lijkt niet direct op een negatief-binomiale verdeling. Ook als ik

\(Y = X_1 + ... + X_r\)

invoer, dan geldt:

\(P(Y = y) = p^r(1-p)^{y - r}\)

. Dit mist enkel nog een factor

\((\frac{y-1}{r-1})\)

(dit is geen breuk).

Hoe kan het dat ik die niet kan 'vinden'?

---

Alvast bedankt!

- Fruitschaal.

EvilBro

Als je in 10 stappen tot drie successen moet komen dan is er meer dan een mogelijkheid. Je kan bijvoorbeeld direct het eerste succes behalen, er dan 8 beurten over doen en vervolgens meteen weer een succes halen (1,8,1). Je kan echter ook eerst 4 beurten dan 3 beurten en dan 3 beurten hebben (4,3,3). Zo zijn er tal van mogelijkheden. Jij doet alsof er maar 1 mogelijkheid is. Daar gaat het bij jou fout en daarom mis je ook de factor.

Ik stel een ander plan van aanpak voor. Bewijs eerst dat als je een negatief-binomiaal verdeelde variabele hebt en er een geometrisch verdeelde variabele bij optelt dat je dan een nieuwe negatief-binomiaal verdeelde variabele krijgt. Bewijs vervolgens dat twee geometrisch verdeelde variabele bij elkaar opgeteld een negatief-binomiaal verdeelde variabele zijn. Op deze manier heb je een vorm van volledige inductie die het gevraagde bewijs levert.

Let wel: misschien kan dit makkelijker, maar ik zie dan gewoon niet hoe.

Fruitschaal

Oké, dank je voor je antwoord. En als ik twee variabelen bij elkaar optel, dan is de kansverdeling van de som gewoon de kansverdelingen van beide variabelen bij elkaar opgeteld?

EvilBro

Test die veronderstelling eens met de kansverdeling van iets wat je al kent (muntje, dobbelsteen, verzin eens iets).

Fruitschaal

Oké. Stel dat je twee keer met een zuivere dobbelsteen gooit.

X geeft het aantal ogen aan in de eerste worp, Y het aantal ogen in de tweede worp. X en Y zijn dan beide onafhankelijk verdeeld met P(X = 1) = ... = P(X = 6) = 1/6 = P(Y = 1) = ... = P(Y = 6).

Stel dat Z de som van het aantal ogen geeft, dus Z = X + Y.

Dan heb je P(Z = 2) = P(X = 1)*P(Y = 1).

P (Z = 3) = P(X = 1)*P(Y = 2) + P(X = 2)*P(Y = 1)

P (Z = 4) = P(X = 1)*P(Y = 3) + P(X = 2)*P(Y = 2) + P(X=3)*P(Y=1) als ik me niet vergis

enzovoort.

Alleen zie ik niet hoe Z verdeeld is... Hoe zijn X en Y eigenlijk verdeeld? Gewoon P(X = x) = (1/6) (als 1 <= x <= 6), 0 elders? Dus homogeen?

Drieske

Het lijkt mij makkelijker te kunnen... Ik doe het, voor notationele makkelijkheden, even voor 2 variabelen voor. De veralgemening is triviaal. Zij dus X en Y uw geometrisch verdeelde stoch. variabelen. En Z = X+Y, dus

\(P(Z = z) = \sum_{i = 1}^{z-1} P(X = i) P(Y = z-i)\)

en als je nu hier kijkt, zie je dat

\(P(Y = i-r) = p(1-p)^{z-i-1}\)

. Geraak je er hiermee?

Een andere methode, die vaak wordt gebruikt, is kijken naar de momentgenererende functies. Dat omdat als X en Y onafhankelijke variabelen met momentgenererende functies M_X(t) en M_Y(t), dan is, voor Z=X+Y, M_Z(t) = M_X(t)*M_Y(t). Daar momentgenererende functies uw verdeling volledig karakteriseren, vind je zo de oplossing. Invullen van je momentgenererende functies, geeft je nu meteen het antwoord. Maar deze methode vereist natuurlijk wel dat je 1) deze momentgenererende functies kent en 2) dat je de stelling kent of kunt bewijzen

.

PS: ivm je dobbelsteen: deze zijn een voorbeeld van een discrete uniforme verdeling.

Fruitschaal

Oh, ik ontdek nu dat ik het enkel hoef aan te tonen voor r = 2, dus

\(X_1 + X_2\)

moet negatief-binominaal(2,p) verdeeld zijn als als X_1 en X_2 onafhankelijk en geometrisch(p) verdeeld zijn. Daar ga ik nu even mee aan de slag

Fruitschaal

\(P(Z = z) = \sum_{i = 1}^z P(X = i) P(Y = z-i)\)

\(P(Z = z) = \sum_{i = 1}^z ((1-p)^{i-1}p \cdot (1-p)^{z-i-1}p) = p^2(1-p)^{z-2}z\)

.

De verdeling van de negatief-binomiale verdeling heeft een (n-1) term in zich, maar dat komt omdat n bij 2 begint, en z begint bij 1 als ik me niet vergis. Dus dat betekent dat de som negatief binomiaal verdeeld is?

EvilBro

De term 'z' is niet goed. Deze ontstaat doordat je je grens van de som niet goed hebt gekozen. 'i' is in woorden de plek waar het eerste succes plaatsvindt. i=z is dus geen optie. Je moet de som tot z-1 laten lopen.

Drieske

Ja, goed opgemerkt

. Was een typfout van mijn kant. Heb deze (bij mij) alvast aangepast.

Overigens Evilbro, ik heb nog eens nagedacht over jouw plan van aanpak (som van geometrische met negatief binomiaal weer negatief binomiaal). Ik moet zeggen dat, na uitschrijven, volgens mij die aanpak ongeveer even rap en "eenvoudig" is als via de mgf's en misschien zelfs iets inzichtelijker. Dat bewijs, dat ik gevolgd heb dan toch, maakt gebruik van de techniek die ik hier gebruik voor de som van 2 variabelen. Bij jou ook waarschijnlijk?

EvilBro

Klopt.

Fruitschaal

Het is me nu wel gelukt. De som moet inderdaad tot z-1 lopen, dat me dat zelf niet opgevallen was

Beide bedankt voor alle hulp!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Som van stochastische variabelen

Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen

Re: Som van stochastische variabelen