Springen naar inhoud

Som van stochastische variabelen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2012 - 18:58

Beste allemaal,

Wederom een vraagje van mijn kant.

---

Toon aan dat de som van LaTeX van r onafhankelijke, geometrisch (p) verdeelde stoch. variabelen LaTeX negatief-binomiaal(r,p) verdeeld is.

Het viel me al op dat ze onafhankelijk verdeeld zijn, dus LaTeX

Dus LaTeX
Dit lijkt niet direct op een negatief-binomiale verdeling. Ook als ik LaTeX invoer, dan geldt:
LaTeX . Dit mist enkel nog een factor LaTeX (dit is geen breuk).


Hoe kan het dat ik die niet kan 'vinden'?

---

Alvast bedankt!
- Fruitschaal.

Veranderd door Fruitschaal, 07 juni 2012 - 18:59


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2012 - 11:11

Als je in 10 stappen tot drie successen moet komen dan is er meer dan een mogelijkheid. Je kan bijvoorbeeld direct het eerste succes behalen, er dan 8 beurten over doen en vervolgens meteen weer een succes halen (1,8,1). Je kan echter ook eerst 4 beurten dan 3 beurten en dan 3 beurten hebben (4,3,3). Zo zijn er tal van mogelijkheden. Jij doet alsof er maar 1 mogelijkheid is. Daar gaat het bij jou fout en daarom mis je ook de factor.

Ik stel een ander plan van aanpak voor. Bewijs eerst dat als je een negatief-binomiaal verdeelde variabele hebt en er een geometrisch verdeelde variabele bij optelt dat je dan een nieuwe negatief-binomiaal verdeelde variabele krijgt. Bewijs vervolgens dat twee geometrisch verdeelde variabele bij elkaar opgeteld een negatief-binomiaal verdeelde variabele zijn. Op deze manier heb je een vorm van volledige inductie die het gevraagde bewijs levert.

Let wel: misschien kan dit makkelijker, maar ik zie dan gewoon niet hoe. :)

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2012 - 16:01

Oké, dank je voor je antwoord. En als ik twee variabelen bij elkaar optel, dan is de kansverdeling van de som gewoon de kansverdelingen van beide variabelen bij elkaar opgeteld?

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2012 - 17:04

Test die veronderstelling eens met de kansverdeling van iets wat je al kent (muntje, dobbelsteen, verzin eens iets).

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2012 - 19:14

Oké. Stel dat je twee keer met een zuivere dobbelsteen gooit.
X geeft het aantal ogen aan in de eerste worp, Y het aantal ogen in de tweede worp. X en Y zijn dan beide onafhankelijk verdeeld met P(X = 1) = ... = P(X = 6) = 1/6 = P(Y = 1) = ... = P(Y = 6).
Stel dat Z de som van het aantal ogen geeft, dus Z = X + Y.
Dan heb je P(Z = 2) = P(X = 1)*P(Y = 1).
P (Z = 3) = P(X = 1)*P(Y = 2) + P(X = 2)*P(Y = 1)
P (Z = 4) = P(X = 1)*P(Y = 3) + P(X = 2)*P(Y = 2) + P(X=3)*P(Y=1) als ik me niet vergis
enzovoort.
Alleen zie ik niet hoe Z verdeeld is... Hoe zijn X en Y eigenlijk verdeeld? Gewoon P(X = x) = (1/6) (als 1 <= x <= 6), 0 elders? Dus homogeen?

Veranderd door Fruitschaal, 08 juni 2012 - 19:15


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 juni 2012 - 09:17

Het lijkt mij makkelijker te kunnen... Ik doe het, voor notationele makkelijkheden, even voor 2 variabelen voor. De veralgemening is triviaal. Zij dus X en Y uw geometrisch verdeelde stoch. variabelen. En Z = X+Y, dus LaTeX en als je nu hier kijkt, zie je dat LaTeX . Geraak je er hiermee?

Een andere methode, die vaak wordt gebruikt, is kijken naar de momentgenererende functies. Dat omdat als X en Y onafhankelijke variabelen met momentgenererende functies MX(t) en MY(t), dan is, voor Z=X+Y, MZ(t) = MX(t)*MY(t). Daar momentgenererende functies uw verdeling volledig karakteriseren, vind je zo de oplossing. Invullen van je momentgenererende functies, geeft je nu meteen het antwoord. Maar deze methode vereist natuurlijk wel dat je 1) deze momentgenererende functies kent en 2) dat je de stelling kent of kunt bewijzen :).

PS: ivm je dobbelsteen: deze zijn een voorbeeld van een discrete uniforme verdeling.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2012 - 20:34

Oh, ik ontdek nu dat ik het enkel hoef aan te tonen voor r = 2, dus LaTeX moet negatief-binominaal(2,p) verdeeld zijn als als X_1 en X_2 onafhankelijk en geometrisch(p) verdeeld zijn. Daar ga ik nu even mee aan de slag ;)

#8

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2012 - 23:07

LaTeX
LaTeX .
De verdeling van de negatief-binomiale verdeling heeft een (n-1) term in zich, maar dat komt omdat n bij 2 begint, en z begint bij 1 als ik me niet vergis. Dus dat betekent dat de som negatief binomiaal verdeeld is?

Veranderd door Fruitschaal, 09 juni 2012 - 23:08


#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2012 - 09:59

De term 'z' is niet goed. Deze ontstaat doordat je je grens van de som niet goed hebt gekozen. 'i' is in woorden de plek waar het eerste succes plaatsvindt. i=z is dus geen optie. Je moet de som tot z-1 laten lopen.

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2012 - 10:07

Ja, goed opgemerkt :). Was een typfout van mijn kant. Heb deze (bij mij) alvast aangepast.

Overigens Evilbro, ik heb nog eens nagedacht over jouw plan van aanpak (som van geometrische met negatief binomiaal weer negatief binomiaal). Ik moet zeggen dat, na uitschrijven, volgens mij die aanpak ongeveer even rap en "eenvoudig" is als via de mgf's en misschien zelfs iets inzichtelijker. Dat bewijs, dat ik gevolgd heb dan toch, maakt gebruik van de techniek die ik hier gebruik voor de som van 2 variabelen. Bij jou ook waarschijnlijk?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2012 - 10:17

Klopt.

#12

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2012 - 13:33

Het is me nu wel gelukt. De som moet inderdaad tot z-1 lopen, dat me dat zelf niet opgevallen was ;)
Beide bedankt voor alle hulp!






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures