[wiskunde] Exponentieel verdeelde wachttijd

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Exponentieel verdeelde wachttijd

Beste allemaal,

Ik kom niet uit de volgende vraag:

---

3 personen, X, Y en Z, komen op tijdstip t = 0 bij de twee kassa's van een supermarkt en zien dat ze beide kassa's vrij zijn. X en Y worden direct geholpen; Z wacht tot een van de kassa's vrij komt. Neem aan dat de bedieningstijden A, B en C van X, Y en Z onafhankelijk en exponentieel(
\(\lambda\)
) verdeeld zijn. Laat U het moment zijn waarop X of Y klaar is, en V dat waarop X en Y klaar zijn.

a) Druk U uit in A en B en bepaal de kansverdeling van U.[/b]

U is dus gebaseerd op de kortste van A of B, alleen heb ik geen idee hoe ik dit moet uitdrukken.

---

Iemand die me hiermee op weg kan helpen?

Alvast bedankt,

- Fruitschaal.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Wiskundig heb je dus: U = min{A, B}... Helpt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Ja, maar nu moet ik de kansverdeling voor U bepalen. Hoe doe ik dat dan?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

P(U <= u) = 1 - P( min{A, B} > u) = 1 - P((A > u) n (B > u)) en met "n" bedoel ik hier doorsnede.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

En P((A > u) n (B > u)) = P(A > u)*P(B > u), omdat A en B onafhankelijk verdeeld zijn?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Inderdaad :) . Raak je er dan uit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Als ik alles invul, dan kom ik uit op
\(P(U \leq u) = 1 - e^{-2\lambda u}\)
.

Dus
\(P(U > u) = e^{-2\lambda u}\)
, dus U is wederom exponentieel verdeeld, met parameter 2labda?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Klopt helemaal :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Maar waarom schreef je het dan eerst op als P(U <= u)? Je had toch meteen P(U > u) kunnen uitwerken? :P

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Omdat dat is hoe je het normaal uitdrukt... Of ik (en Wiki ook) toch. Uiteindelijk zoek je eigenlijk de cumulatieve verdelingsfunctie (cdf in het Engels) en hiervoor geldt dat FX(x) = P(X <= x) met X je variabele.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Oké, dat klinkt logisch.

b) Druk V uit in A en B en bepaal de kansverdeling van V.

Het lijkt me nu dat V = A + B?

Dus:
\(P(V \leq v) = 1 - P(A + B > v) = 1 - P((A > v) \cup (B > v))\)
En dan loop ik vast. Wat is P((A > v) u (B > v)) in kansverdelingen uitgedrukt?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

In mijn ogen is dat niet A+B, maar max{A, B}. Immers, als A na 1 min. klaar is en B na 2 min., dan is U hier toch 2 min. want dan zijn beiden klaar... Dus dat brengt je tot max{A, B}. Dat ligt bovendien ook mooi in lijn met wat ik zou verwachten als vervolgvraag ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Maar natuurlijk. Iets te snel 'nagedacht'. Als je V = A + B vervangt door V = max{A, B} wat ik hier boven zijn, dan klopt 1 - P((A > v) u (B > v)) toch nog steeds?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Nee toch? Een unie is eigenlijk een soort van "of"... Je weet niet zeker dat en A en B voldaan is dan. P(V <= v) = P(A <= v, B <= V) = ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Exponentieel verdeelde wachttijd

Dan lijkt het me dat
\(P(V \leq v) = P(A \leq v, B \leq v) = P((A \leq v) \cap (B \leq v)) = P(A \leq v)P(B \leq v)\)
.

Alleen krijg je dan hetzelfde als a) en dat lijkt me niet de bedoeling, of ik faal weer eens :P

Reageer