[wiskunde] deling veeltermen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 581

deling veeltermen

Ik kreeg onlangs volgende vraag voor ogen en weet niet direct het antwoord:

Een veelterm geeft bij deling door (x-2) rest 31, en bij deling door (x+5) rest 122.

Wat is de rest bij deling door (x-2)(x+5) ?

Waarschijnlijk erg eenvoudig, maar ik zie het niet...

Kan iemand me wat op weg helpen?

(PS reststelling, horner, eiclidische deling, etc... zijn me bekend, dat is geen probleem)
---WAF!---

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: deling veeltermen

Ga uit van: f(x)=(x-a)Q(x)+R(x)

De rest na deling door een lineaire functie is een constante ... , waarom?

De rest na deling door een kwadratische functie is een lineaire functie ... , waarom?

Dus f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+px+q, bepaal p en q

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: deling veeltermen

>De rest na deling door een lineaire functie is een constante ... , waarom?

...dit betekent dat de graad van de veelterm (deeltal) moet gelijk zijn aan de graad van het product van de deler en het quotient. Maw: graad quotient = graad veelterm -1

>De rest na deling door een kwadratische functie is een lineaire functie ... , waarom?

>Dus f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+px+q, bepaal p en q

Hoe weet je dat de rest (px+q) hier dus van de 1ste graad is? Dat is toch niet zeker?

Wat mis ik dan?
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: deling veeltermen

Staat er bij dat er precies 1-oplossing is.

Ik heb denk ik wel iets gevonden over de aard van de term
\(a_n\)
.

Ik moet dat nog nalopen maar als er precies 1-oplossing is dan kan ik me dat wel besparen want dan zit ik kennelijk op doodspoor.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: deling veeltermen

Westy schreef: vr 08 jun 2012, 11:51
>De rest na deling door een lineaire functie is een constante ... , waarom?

...dit betekent dat de graad van de veelterm (deeltal) moet gelijk zijn aan de graad van het product van de deler en het quotient. Maw: graad quotient = graad veelterm -1


Kijk naar: f(x)=(x-a)Q(x)+ R dus f(a)=R
\(\frac{f(x)}{x-a}=Q(x)+\frac R {x-a}\)

Hoe weet je dat de rest (px+q) hier dus van de 1ste graad is? Dat is toch niet zeker?

Wat mis ik dan?


Om dezelfde reden volgt met:

f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+.R(x),
\(\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}=Q(x)+\frac{R(x)}{(x-a)(x-b)}\)


Is het zo wel duidelijk ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: deling veeltermen

Rectificatie:

Om dezelfde reden volgt met:

f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+.R(x),
\(\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}=P(x)+\frac{R(x)}{(x-a)(x-b)}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: deling veeltermen

Beste Safe,

Ik begrijp alles wat je schrijft:
\( \frac{f(x)}{x-a}= Q_1(x)+ \frac{R_1}{x-a}\)
met
\(a=2 \)
en
\(R_1=31 \)
en
\(f(a)=R_1\)
\(\frac {f(x)} {x-b} = Q_2(x)+ \frac{R_2}{x-b}\)
met
\(b = -5 \)
en
\( R_2=122 \)
en
\(f(b)=R_2\)
\(\frac {f(x)} {(x-a)(x-b)} = P(x)+ \frac{R(x)}{(x-a)(x-b)}\)
dit is allemaal duidelijk.

Maar ik zie het nog steeds niet... ik bedoel hoe je R(x) kan vinden?
---WAF!---

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: deling veeltermen

Mooi, maar ben je met me eens dat R(x)=px+q ?

Welke twee verg in p en q kan je dan opschrijven ...

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: deling veeltermen

>Mooi, maar ben je met me eens dat R(x)=px+q ?

Euh, nee... ik zie nog niet waarom die rest van de 1ste graad zou zijn...?

Ik zie wel een verband tussen de graden van deeltal f(x) , deler (x-a)(x-b) en quotient P(x), maar niet van de rest... Dat kan toch van alles zijn?

Correctie, stom stom, natuurlijk moet de graad van de rest kleiner zijn dan die van de deler, anders kunnen we natuurlijk nog verder delen...

ok.

>Welke twee verg in p en q kan je dan opschrijven ...

Sorry, hier mis blijkbaar iets, want ik weet niet wat je bedoelt...
---WAF!---

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: deling veeltermen

Je hebt nu:

f(x)=(x-2)(x+5)P(x)+px+q

Wat weet je (gegeven) als je invult x=2 en x=-5 ...

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: deling veeltermen

Maar natuurlijk, dan valt die P(x) weg...

f(2)=2p+q=31

f(-5)=-5p+q=122

stelsel oplossen geeft p=-13 en q=57

de rest is dus -13x+57

waarom zag ik dat nu niet?

alles duidelijk nu,

bedankt
---WAF!---

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: deling veeltermen

Mooi, succes verder.

Reageer