[wiskunde] deling veeltermen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 581
deling veeltermen
Ik kreeg onlangs volgende vraag voor ogen en weet niet direct het antwoord:
Een veelterm geeft bij deling door (x-2) rest 31, en bij deling door (x+5) rest 122.
Wat is de rest bij deling door (x-2)(x+5) ?
Waarschijnlijk erg eenvoudig, maar ik zie het niet...
Kan iemand me wat op weg helpen?
(PS reststelling, horner, eiclidische deling, etc... zijn me bekend, dat is geen probleem)
Een veelterm geeft bij deling door (x-2) rest 31, en bij deling door (x+5) rest 122.
Wat is de rest bij deling door (x-2)(x+5) ?
Waarschijnlijk erg eenvoudig, maar ik zie het niet...
Kan iemand me wat op weg helpen?
(PS reststelling, horner, eiclidische deling, etc... zijn me bekend, dat is geen probleem)
---WAF!---
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: deling veeltermen
Ga uit van: f(x)=(x-a)Q(x)+R(x)
De rest na deling door een lineaire functie is een constante ... , waarom?
De rest na deling door een kwadratische functie is een lineaire functie ... , waarom?
Dus f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+px+q, bepaal p en q
De rest na deling door een lineaire functie is een constante ... , waarom?
De rest na deling door een kwadratische functie is een lineaire functie ... , waarom?
Dus f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+px+q, bepaal p en q
- Berichten: 581
Re: deling veeltermen
>De rest na deling door een lineaire functie is een constante ... , waarom?
...dit betekent dat de graad van de veelterm (deeltal) moet gelijk zijn aan de graad van het product van de deler en het quotient. Maw: graad quotient = graad veelterm -1
>De rest na deling door een kwadratische functie is een lineaire functie ... , waarom?
>Dus f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+px+q, bepaal p en q
Hoe weet je dat de rest (px+q) hier dus van de 1ste graad is? Dat is toch niet zeker?
Wat mis ik dan?
...dit betekent dat de graad van de veelterm (deeltal) moet gelijk zijn aan de graad van het product van de deler en het quotient. Maw: graad quotient = graad veelterm -1
>De rest na deling door een kwadratische functie is een lineaire functie ... , waarom?
>Dus f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+px+q, bepaal p en q
Hoe weet je dat de rest (px+q) hier dus van de 1ste graad is? Dat is toch niet zeker?
Wat mis ik dan?
---WAF!---
- Berichten: 4.320
Re: deling veeltermen
Staat er bij dat er precies 1-oplossing is.
Ik heb denk ik wel iets gevonden over de aard van de term
Ik moet dat nog nalopen maar als er precies 1-oplossing is dan kan ik me dat wel besparen want dan zit ik kennelijk op doodspoor.
Ik heb denk ik wel iets gevonden over de aard van de term
\(a_n\)
.Ik moet dat nog nalopen maar als er precies 1-oplossing is dan kan ik me dat wel besparen want dan zit ik kennelijk op doodspoor.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: deling veeltermen
Westy schreef: ↑vr 08 jun 2012, 11:51
>De rest na deling door een lineaire functie is een constante ... , waarom?
...dit betekent dat de graad van de veelterm (deeltal) moet gelijk zijn aan de graad van het product van de deler en het quotient. Maw: graad quotient = graad veelterm -1
Kijk naar: f(x)=(x-a)Q(x)+ R dus f(a)=R
\(\frac{f(x)}{x-a}=Q(x)+\frac R {x-a}\)
Hoe weet je dat de rest (px+q) hier dus van de 1ste graad is? Dat is toch niet zeker?
Wat mis ik dan?
Om dezelfde reden volgt met:
f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+.R(x),
\(\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}=Q(x)+\frac{R(x)}{(x-a)(x-b)}\)
Is het zo wel duidelijk ...
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: deling veeltermen
Rectificatie:
Om dezelfde reden volgt met:
f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+.R(x),
Om dezelfde reden volgt met:
f(x)=(x-a)(x-b)P(x)+.R(x),
\(\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}=P(x)+\frac{R(x)}{(x-a)(x-b)}\)
- Berichten: 581
Re: deling veeltermen
Beste Safe,
Ik begrijp alles wat je schrijft:
Maar ik zie het nog steeds niet... ik bedoel hoe je R(x) kan vinden?
Ik begrijp alles wat je schrijft:
\( \frac{f(x)}{x-a}= Q_1(x)+ \frac{R_1}{x-a}\)
met \(a=2 \)
en \(R_1=31 \)
en \(f(a)=R_1\)
\(\frac {f(x)} {x-b} = Q_2(x)+ \frac{R_2}{x-b}\)
met \(b = -5 \)
en \( R_2=122 \)
en \(f(b)=R_2\)
\(\frac {f(x)} {(x-a)(x-b)} = P(x)+ \frac{R(x)}{(x-a)(x-b)}\)
dit is allemaal duidelijk.Maar ik zie het nog steeds niet... ik bedoel hoe je R(x) kan vinden?
---WAF!---
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: deling veeltermen
Mooi, maar ben je met me eens dat R(x)=px+q ?
Welke twee verg in p en q kan je dan opschrijven ...
Welke twee verg in p en q kan je dan opschrijven ...
- Berichten: 581
Re: deling veeltermen
>Mooi, maar ben je met me eens dat R(x)=px+q ?
Euh, nee... ik zie nog niet waarom die rest van de 1ste graad zou zijn...?
Ik zie wel een verband tussen de graden van deeltal f(x) , deler (x-a)(x-b) en quotient P(x), maar niet van de rest... Dat kan toch van alles zijn?
Correctie, stom stom, natuurlijk moet de graad van de rest kleiner zijn dan die van de deler, anders kunnen we natuurlijk nog verder delen...
ok.
>Welke twee verg in p en q kan je dan opschrijven ...
Sorry, hier mis blijkbaar iets, want ik weet niet wat je bedoelt...
Euh, nee... ik zie nog niet waarom die rest van de 1ste graad zou zijn...?
Ik zie wel een verband tussen de graden van deeltal f(x) , deler (x-a)(x-b) en quotient P(x), maar niet van de rest... Dat kan toch van alles zijn?
Correctie, stom stom, natuurlijk moet de graad van de rest kleiner zijn dan die van de deler, anders kunnen we natuurlijk nog verder delen...
ok.
>Welke twee verg in p en q kan je dan opschrijven ...
Sorry, hier mis blijkbaar iets, want ik weet niet wat je bedoelt...
---WAF!---
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: deling veeltermen
Je hebt nu:
f(x)=(x-2)(x+5)P(x)+px+q
Wat weet je (gegeven) als je invult x=2 en x=-5 ...
f(x)=(x-2)(x+5)P(x)+px+q
Wat weet je (gegeven) als je invult x=2 en x=-5 ...
- Berichten: 581
Re: deling veeltermen
Maar natuurlijk, dan valt die P(x) weg...
f(2)=2p+q=31
f(-5)=-5p+q=122
stelsel oplossen geeft p=-13 en q=57
de rest is dus -13x+57
waarom zag ik dat nu niet?
alles duidelijk nu,
bedankt
f(2)=2p+q=31
f(-5)=-5p+q=122
stelsel oplossen geeft p=-13 en q=57
de rest is dus -13x+57
waarom zag ik dat nu niet?
alles duidelijk nu,
bedankt
---WAF!---