differentiaalvergelijkingen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 26

differentiaalvergelijkingen

oefening differentiaalvergelijking.docx
(18.79 KiB) 99 keer gedownload
Hallo allemaal!

Ik kan wat hulp gebruiken met een oefening van wiskunde, ik weet totaal niet als ik juist bezig ben, maar de oef en de oplossing vindt u in de bijlage.

Alvast bedankt!

Berichten: 75

Re: differentiaalvergelijkingen

Ik vrees dat je oplossing niet juist is (als ik ze goed kan volgen). Ik begrijp immers absoluut niet waarom je een discriminant gaat gebruiken (kan je me even uitleggen waarom je dat doet), aangezien het om een lineaire eerste orde differentiaalvergelijking gaat en geen tweedegraadsvergelijking. Afleiden is immers helemaal niet hetzelfde als kwadrateren. Als het over een tweede orde differentiaalvergelijking zou gaan, zou ik het nog enigzins begrijpen omdat je daar wel wat bent met de karakteristieke vergelijking, maar nu ...

Soit, de methode die ik ken om zo een vergelijking op te lossen maakt gebruik van het vinden van een oplossing voor de homogene vergelijking én een oplossing voor de particuliere vergelijking. Door optellen (superponeren) van beide oplossingen vind je een algemene oplossing. Rekening houden met je beginvoorwaarde tenslotte, levert de gevraagde oplossing.

In het 1e geval gaat dat als volgt.

We zoeken een oplossing voor de homogene diff. vergelijking :
\(
$L \dfrac{dI}{dt} + RI = 0$ of na herschrijven $\dfrac{dI}{I} = -\dfrac{R}{L} dt$

Een oplossing voor deze vergelijking is $I(t) = I_{0} . e^{\frac{-Rt}{L}}$, wat je vindt door integratie. Ik heb ook verondersteld dat $t_{0} = 0s$.

Een particuliere oplossing (dat is er eentje die voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking, is eenvoudig te zien. Zo voldoet $I = \dfrac{U_{0}}{R}$ aan de oorspronkelijke vergelijking.

Door beiden op te tellen, stellen we de oplossing $I(t) = I_{0} . e^{\frac{-Rt}{L}} + \dfrac{U_{0}}{R}$ voor.

Als we nu nog rekening houden met het gegeven dat $I(0s) = 0 A$, krijgen we na invullen in de oplossing dat $ 0 = I_{0} + \dfrac{U_{0}}{R}$, waaruit eenvoudig $I_{0} = \dfrac{- U_{0}}{R}$.
\)
Probeer alvast deze methode te begrijpen want het is de algemene methode voor differentiaalvergelijkingen van deze soort. Daarenboven gaan we ze ook toepassen op het tweede deel, al kan ik daar de particuliere oplossing niet zien, maar wel berekenen. Laat maar weten wanneer je dit begrepen hebt of dat er nog vragen zijn :-)

Reageer