Springen naar inhoud

Eigenwaarden allen positief


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2012 - 12:08

Hoi

Ik heb hier een mogelijke examenvraag waar ik niet uit kom.
Ik heb een K x K matrix S. De matrix elementen kunnen complex zijn.
Er is gegeven dat de modulus van de diagonaal elementen gelijk is aan 1. LaTeX
Verder geldt dat de modulus van de andere elementen is strikt kleiner dan 1. LaTeX

Ten slotte weet ik ook nog dat de matrix hermitisch is. Dus LaTeX .

Ik weet meteen dat de eigenwaarden reeël zijn want S is hermitisch. Het is dus mogelijk over positief en negatief te spreken.

Ik heb geprobeerd om het aan te tonen door een generische eigenvector LaTeX te gebruiken. Maar hier kwam niets uit.

Ook heb ik gedacht om aan te tonen dat de matrix positief definiet is maar ik weet niet of dat wel de aangewezen methode is omdat er in principe geen nullen in de matrix hoeven te staan.

Toen heb ik het even op IRC gevraagd in een wiskunde kanaal. Maar daar gaven ze me deze stelling: Gershgorin Circle Theorem.
Het lijkt me gek dat we deze zouden moeten gebruiken. We hebben de stelling nooit gezien, zelfs nooit van gehoord.

Kent er iemand een andere methode om dit aan te tonen?

Alvast bedankt voor het meedenken

Joris

Edit: Het kan wel werken met die stelling denk ik hoewel dat niet echt triviaal lijkt te zijn. Als ik bvb de middelpunten van de beschreven cirkels kies als zijnde de diagonaal elementen, dan moet ik nog bewijzen dat de som van de modulus van de overige getallen kleiner dan of gelijk aan 1 is.

Veranderd door JorisL, 09 juni 2012 - 12:19


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2012 - 12:31

Dit kun je ook niet aantonen met Gershgorin denk ik, want je kunt zo een voorbeeld bedenken waarbij de som van de absolute elementen op rij behalve het element op de diagonaal groter is dan 1. Dan krijg je een gebied met ''mogelijke" eigenwaarden kleiner dan 0... (maar misschien zit ik fout..)

Veranderd door Axioma91, 09 juni 2012 - 12:32


#3

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2012 - 12:34

Nee inderdaad, dat dacht ik ook toen ik er iets langer over na dacht.
Dat is het probleem, ik zie totaal geen oplossing.

#4

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2012 - 00:54

Je kunt vrij gemakkelijk aantonen dat z*Mz > 0 voor alle z. Gewoon de sommen uitwerken de eigenschappen van de elementen die je kent invullen en dan zou je er moeten komen, lijkt mij. Dus de matrix is positief definiet.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#5

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 juni 2012 - 11:04

Ik zie niet in hoe ik daar aan moet komen.
Ik kan uitwerken dat LaTeX .
Maar daarover kan ik niet veel zeggen omdat S een complexe matrix is.

Ik weet dat het product reeël is maar hoe kan ik dan de eigenschappen toepassen? Want ik weet alleen iets over de modulus van de getallen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures