Springen naar inhoud

Analytische voortzetting


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juni 2012 - 21:00

[Complexe analyse] - Ik weet niet wat er met latex aan de hand is - m'n browser geeft het slecht weer..
Functie u is harmonisch op de open eenheidsschijf, LaTeX . u heeft geen nulpunten en gegeven ook dat 1/u harmonisch op dezelfde schijf. Bewijs dat u constant is.

Je kunt tot de conclusie komen dat de afgeleiden in beide richtingen (im, re) 0 zijn, maar ik probeerde iets anders voordat ik het antwoord zag. Zou iemand kunnen controleren of het volgende juist is?

u heeft geen nulpunten dus LaTeX is goed gedefinieerd. We bekijken LaTeX waarbij LaTeX , dus de gesloten schijf met straal r. Omdat u harmonisch en dus analytisch is, in het bijzonder continu, neemt u een maximum aan op deze gesloten schijf. Er volgt dat u constant is.(volgens maximum modulus stelling).
Nu kunnen we u analytisch voortzetten tot de open eenheidsschijf LaTeX .

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2012 - 09:34

Ik zie dat m'n browser het weer goed weergeeft. Nog even voor de duidelijkheid:
LaTeX moet een gesloten schijf zijn rond de oorsprong met straal r <1 (hij vergeet de \bar)

Veranderd door Axioma91, 19 juni 2012 - 09:35


#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 juni 2012 - 09:38

In mijn ogen heb je geen analytische voortzetting nodig: je gebied is compact...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2012 - 09:46

Ah ja dat zou ook kunnen; er staat in mijn boek een supplement met onder hetzeflde kopje de analytische voorzetting (a) en compactheid (b). Maar het stuk daarvoor klopt dan gewoon? Dan vind ik deze manier een stuk eleganter/sneller dan alles netjes uitschrijven.

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 juni 2012 - 23:17

Spreken over goed gedefinieerd zou ik niet meteen bij 1/u. Polen zijn immers toegestaan a priori. Ik zou eerder zeggen dat 1/u analytisch/holomorf is. Verder lijkt je redenering juist.

Ik zie overigens net dat je de open schijf bedoelt; die is uiteraard niet compact.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2012 - 23:56

Hm ik twijfel zelf nog over "Omdat u harmonisch en dus analytisch is" - volgens mij mag ik dat niet zomaar zeggen. Bijvoorbeeld; u(x,y) = x is harmonisch, maar voldoet niet aan de C.R. vergelijkingen, dus niet analytisch... Of haal ik nu dingen door elkaar? (Harmoniciteit is mij toch nog niet helemaal helder).

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juni 2012 - 09:47

Harmonische functies zijn wel degelijk altijd analytisch... Maar nu compactheid vervalt, weet ik niet of je bewijs te redden valt. Van die analytische voortzetting ben ik (nog) niet overtuigd.

Het was ook wat vreemd dat je eigenlijk nergens gebruikt wat je weet over 1/u.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2012 - 10:10

Ok eens kijken wat ik nu begrijp van die harmonische functies:
Laat u harmonisch zijn, dan kun je een analytische functie f bouwen f:= u+iv. Waarbij v op een constante na vastligt. v is dan de geconjugeerde harmonische van u.
Als ik dan alleen het reele deel u van f beschouw, bijv LaTeX (dus met LaTeX ), dan LaTeX (delta ~ Laplace operator)=> harmonisch. Maar LaTeX
Hier gaat het in mijn hoofd dus fout... Spreken we soms over de analytische functie f die je met u als reel deel kunt maken?

edit:
Hm we zeggen eerst dat 1/u geen polen heeft (want u geen nulpunten) en dus met z'n coninuiteit ervoor zorgt dat 1/u begrensd is binnen de schijf. Dan constateren we dat 1/u constant is binnen de schijf <=> u is constant (u niet nul, maar dat is gegeven). Dat heb ik inderdaad heel onduidelijk opgeschreven, excuses daarvoor.

Veranderd door Axioma91, 20 juni 2012 - 10:15


#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juni 2012 - 12:10

Maar je harmonische functie zit toch in R, wat losjes gesproken. En niet, zoals jij suggereert, lijkt me, in C...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2012 - 14:46

Ja, maar dan moeten we in het bewijs dus uitgaan van de holomorfie van f = u+iv op de disc en niet de "holomorfie van u" (*).

Misschien kan je daarna zeggen:
|f|=constant => f =constant (want f analytisch) => u=constant

*Zou je kunnen zeggen of ik dit nu wel goed heb? Ik probeer er namelijk vooral voor te zorgen dat ik harmoniciteit beter begrijp..

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juni 2012 - 14:51

Wel, nee, daar moet je ook niet van uitgaan. Ik weet niet wat je reeds gezien hebt, maar je kunt wel degelijk zeggen dat u analytisch is; desondanks dat u een reële functie is. Men bedoelt dan dat je u kan schrijven als een (absoluut) convergente machtreeks. In deze pdf staat dat bijv (zoeken op "real analyt" geeft je de gewenste resultaten).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2012 - 19:40

Ok bedankt! Ik ga me daar binnenkort dan wat meer in verdiepen, want behalve de definitie en een kleine opmerking staat er (bijna) niets over harmonische functies in mijn cursusboek.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures