Functie u is harmonisch op de open eenheidsschijf,
\(u :U_1(0) \rightarrow\mathbb{R}\)
. u heeft geen nulpunten en gegeven ook dat 1/u harmonisch op dezelfde schijf. Bewijs dat u constant is.Je kunt tot de conclusie komen dat de afgeleiden in beide richtingen (im, re) 0 zijn, maar ik probeerde iets anders voordat ik het antwoord zag. Zou iemand kunnen controleren of het volgende juist is?
u heeft geen nulpunten dus
\(1/u\)
is goed gedefinieerd. We bekijken \(\bar{U}_r(0)\)
waarbij \( r < 1\)
, dus de gesloten schijf met straal r. Omdat u harmonisch en dus analytisch is, in het bijzonder continu, neemt u een maximum aan op deze gesloten schijf. Er volgt dat u constant is.(volgens maximum modulus stelling).Nu kunnen we u analytisch voortzetten tot de open eenheidsschijf
\(U_1(0)\)
.
