[wiskunde] Limiet van functies met meerdere variabelen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 316

Limiet van functies met meerdere variabelen

Hallo,

Ik snap nog niet helemaal hoe limieten van functies met meerdere variabelen bepaald kunnen worden. In het boek wordt niet echt een vaste procedure behandeld en lijken er bij de uitwerkingen methoden uit de duim te worden gezogen.

Voorbeeld:
\(
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{y^3}{x^2+y^2}
\)
In het boek benaderen ze (0,0) via zowel de x-as (y=0) als de y-as (x=0) om dit te onderzoeken:
\(f(x,o) \to 0\)
Dus de limiet moet 0 zijn als deze uberhaupt bestaat, zegt het boek.

Via de y-as:
\(f(0,y) \to y\)
Ik weet verder niet wat ik moet met dit gegeven en het boek is niet duidelijk. Ik hoop dat iemand verder kan helpen!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet van functies met meerdere variabelen

\(f(0,y) \to y\)
Hier staat toch dat x=0, vul dat in ...

Berichten: 316

Re: Limiet van functies met meerdere variabelen

Dan komt er toch y uit?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet van functies met meerdere variabelen

Puntje schreef: di 19 jun 2012, 22:18
Dan komt er toch y uit?
En nu de limiet ...

Neem tenslotte de lijn y=ax ...

Berichten: 316

Re: Limiet van functies met meerdere variabelen

Dus ik mag het onderstaande gewoon schrijven in het geval van x=0?
\(
\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(0,x)=0
\)
En verder de lijn y=ax. Ik denk dat je gewoon a=1 kunt nemen voor het gemak, die constante factor is niet van belang in de limiet. Dus dan bekijken we f(x,x) of f(y,y), dat maakt verder niet uit:
\(
\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,x)=\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x}{2}=0
\)
Mag ik dan onderstaande conclusie trekken?
\(
\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{y^3}{x^2+y^2}=0
\)
Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Limiet van functies met meerdere variabelen

Nee dat mag niet, de zaak moet gelden voor ELK pad dat naar (0,0) leidt.

Dus ook voor bv:
\(y=7x^3+2x^2\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Limiet van functies met meerdere variabelen

Wat tempelier zegt: een paar paden vinden die je dezelfde waarde geven, vormen geen bewijs. Ze vormen wél een aanwijzing: als je limiet bestaat, moet hij daaraan gelijk zijn. We gaan er dus van uit dat de limiet 0 is. Nu wil je dat nog echt bewijzen. Probeer eens "mooie" f(x, y) te zoeken zodat
\(-f(x,y) \leq \frac{y^3}{x^2 + y^2} \leq f(x, y)\)
, of nog
\(\left|\frac{y^3}{x^2 + y^2}\right| \leq f(x, y)\)
. Met "mooi" bedoel ik hier dat je functie niet al te moeilijk is en dat de limiet voor (x, y) naar (0, 0) van f(x, y) gelijk is aan 0. Dan volgt het te bewijzen.

Hint: probeer iets te doen met je noemer.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer