[wiskunde] Vinden van (on)ware formule

Tempus

Stel je hebt de verzamelingen A={-1, -1/2, -1/3, -1/4,...} en B={-1, -1/2, -1/3, -1/4,..., 0, 1/2, 2/3, 3/4,...}. Je moet nu een gesloten formule vinden die onwaar is in (A, <) en waar in (A ∪ B, <). Ik weet niet zo goed wat ik hiermee aan moet omdat alleen de <-relatie is gegeven en verder geen functies of constanten. Heeft iemand een hint?

Drieske

Ben je zeker dat je verzamelingen kloppen? Want, er is A ∪ B = B, toch? Verder weet ik ook niet goed wat je bedoelt met (A, <) bijv. Je mag dus bijvoorbeeld geen machten nemen ofzo, want dat lijk je te suggereren?

Tempus

Ah sorry, wat nu als B staat, had A ∪ B moeten zijn. A is dus goed en B={0, 1, 1/2, 2/3, 3/4,...}. De vraag is dan iets vinden wat onwaar is in (A, <) en waar in (A ∪ B, <). Met de notatie (A, <) bedoel ik de structuur bestaande uit de verzameling A en de relatie ''strikt kleiner dan''. Het lijkt me dat je in deze structuur niets met machtsverheffing kan doen omdat de structuur dan (A, <, ^) zou zijn geweest, evenzo voor andere operaties.

Heidegger

Dus:

Tempus schreef: ↑vr 22 jun 2012, 21:26
A={-1, -1/2, -1/3, -1/4,...} en A ∪ B={-1, -1/2, -1/3, -1/4,..., 0, 1/2, 2/3, 3/4,...}

?

Zit +1 nu wel of niet in B...

Anyway iets van: voor een element x uit de verzameling en twee elementen y, z met y<x en z<x geldt: y+z<x.

Deze uitspraak klopt wel in verzameling A, maar niet in de vereniging A ∪ B (neem x=3/4, y=2/3, z=1/2).

Dus de ontkenning van de uitspraak is waar in de vereniging maar niet in A.

Tempus

1 zit niet in B. Ik zie dat je in je antwoord gebruik maakt van ''+'', maar als ik de structuren genoteerd zie staan als (A, <) en (A∪ B, <) dan ga ik ervan uit dat je in je formule alleen gebruik mag maken van het relatieteken ''<''. Misschien is dit een misvatting van me, aangezien ik zo niet zie hoe je zo'n formule kan maken met alleen ''<''.

Elrond

Mag iets in de zin van

$ $\exists x \in S : 0 < x$ $

of mag je ook geen kwantoren gebruiken?

Als S = A, is de uitspraak fout, als S = A u B is ze juist.

Tempus

Kwantoren zijn prima. Zelf dacht ik eerst ook aan zoiets als jij hebt, maar dan maak je gebruik van de constante 0, die niet in je structuur vermeld staat. Ik begin me af te vragen of de vraag wel op te lossen is zonder gebruik te maken van extra functies of constanten.

Elrond

En als we daar eens van maken

$ $\exists \dfrac{a}{b} \in S : -1 < a$ $

.

Dan definieer je de elementen in je verzamelingen wel als teller in Z en noemer in N0, maar dat heb ik toch altijd het meest gebruikelijk gevonden.

Drieske

Ik was te rap

. Vergeet die opmerking. Je nevenopmerking van "teller in Z", moet je wel meenemen in je uitspraak. Ook al is het logisch.

Het enige wat ik vreemd blijf vinden, is wat je nu wel of niet mag gebruiken... Heb je nergens in je cursus een goede definitie daarvoor? Kan bijna niet anders, toch?

Tempus

Een directe definitie niet, maar eigenlijk is het hetzelfde als dat je geen uitdrukkingen met vermenigvuldiging erin kan krijgen in de structuur (G, +) en wel in de structuur (V, +, ·). Evenzo kan je in (A, <) alleen formules maken met het symbool "<" erin. Over een formule met functiesymbolen, zoals "+" en "·", of constanten, zoals "0" en "1" erin kan je niet zeggen of deze waar of onwaar is omdat je je functiesymbolen en constanten niet kan interpreteren in de structuur (A, <). Misschien dat deze link het nog verder verduidelijkt.

Drieske

Okee, dat volg ik... Maar waarom ken je dan wel, bijvoorbeeld, Z? Want dat heb je natuurlijk nodig om de uitspraak kloppende te maken.

Laat het duidelijk zijn: logica is niet mijn ding

.

Tempus

Z als geheel ken je ook niet, wat je wel kent zijn de deelverzamelingen A en A ∪ B van Z. Dat je deze verzamelingen wel kent, kan je zien aan de gegeven structuren, dat waren namelijk (A, <) en (A ∪ B, <). Nog een voorbeeld ter verduidelijking: de formule

$\exists x \forall y[x+y=y+x=y] $

is waar in de structuur (N, +), maar niet waar in (N-{0}, +), want in de tweede structuur ken je het element 0 niet. De formule is ook niet waar in de structuur (N, <): je kent in deze structuur misschien wel 0, maar je kan het symbool "+" in de formule niet interpreteren in de structuur (N, <) omdat "optellen" er niet bij staat. De enige uitzondering op het voorgaande is de = relatie. Deze staat nooit in de structuur aangegeven maar mag wel altijd gebruikt worden in formules.[/color]

Ik vind logica overigens wel heel interessant, maar ben ook bepaald geen expert hoor.

Toch ben ik redelijk zeker over de bovenstaande uitleg. Probleem is wel dat mijn eigen uitleg me het nu onmogelijk maakt de opgave op te lossen. Ik dacht dat ik misschien iets over het hoofd zag, maar na de reacties lijkt dit onwaarschijnlijker geworden. Ik zou het heel vreemd vinden als er in het antwoord afgeweken wordt van mijn bovenstaande uitleg, dus vermoed ik nog steeds dat er een formule is die ik gewoon niet zie. Ik zal nog wel proberen dit na te vragen.

Drieske

Ik ben het ook geheel eens met jouw uitleg hoor, en dat is ook hoe ik het zie. Mijn punt was ook gewoon dat dat maakt dat elk voorbeeld dat tot nu werd gegeven, niet voldoet... Overigens is A (unie B) niet meteen een deelverzameling van Z

. Ik denk ook nog steeds over een geldige uitspraak, maar zie er zo meteen ook geen.

Tempus

Ah sorry, ik wist niet precies in hoeverre het duidelijk was.

Drieske schreef: ↑ma 25 jun 2012, 23:14
Overigens is A (unie B) niet meteen een deelverzameling van Z .

Ja, ik zie nu dat ik te snel typte, stomme fout.

Elrond

Wel, volgens mij is mijn eerste uitspraak nog steeds juist,als je A en B gaat definiëren (ik wil dat wel even doen), zelfs zonder Z en No te gebruiken, maar

als je nu

$ $\exists x \in S : x > \frac{1}{2}$ $

neemt?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Vinden van (on)ware formule

Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule

Re: Vinden van (on)ware formule