ik heb een stelling ivm rijen die ik heb bewezen, althans dat denk ik. Iemand zin om mijn bewijs na te kijken, want het is al weer enkele jaren geleden dat ik dit soort dingen voor het laatst deed.
De stelling die ik wilde bewijzen is :
\(
Als $\lim\limits_{n \to \infty} |\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| = |a| < 1$ , dan is $\lim\limits_{n \to \infty} {u_{n} = 0$
\)
Nu heb ik het bewijs in drie stappen geleverd. Ten eerste bewijs ik dat de rij naar boven begrensd is.Als $\lim\limits_{n \to \infty} |\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| = |a| < 1$ , dan is $\lim\limits_{n \to \infty} {u_{n} = 0$
\)
Daarenboven heb ik eerst bewezen dat
\($|u_{n}|$\)
naar 0 convergeert.\(
$|u_{n}|$ is een begrensde rij
Kies $\epsilon = \dfrac{|1 - |a||}{2} > 0$, dan $\exists N \in \mathbb{N}$ zodat $\forall n > N$ :
$||\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| - |a||< \epsilon $.
Hieruit volgt dat $\forall n > N, |\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| < 1$, want anders is
$||\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| - |a|| \geq | 1 - |a|| > \epsilon$, wat in strijd is met het voorgaande.
De rij $|u_{n}|$ is dus naar boven begrensd door $max(|u_{1}|,|u_{2}|,... ,| u_{N}|)$.
De rij is duidelijk ook naar onder begrensd , zodat de rij begrensd is.
\)
In de tweede stap bewijs ik dat de rij convergeert.$|u_{n}|$ is een begrensde rij
Kies $\epsilon = \dfrac{|1 - |a||}{2} > 0$, dan $\exists N \in \mathbb{N}$ zodat $\forall n > N$ :
$||\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| - |a||< \epsilon $.
Hieruit volgt dat $\forall n > N, |\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| < 1$, want anders is
$||\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| - |a|| \geq | 1 - |a|| > \epsilon$, wat in strijd is met het voorgaande.
De rij $|u_{n}|$ is dus naar boven begrensd door $max(|u_{1}|,|u_{2}|,... ,| u_{N}|)$.
De rij is duidelijk ook naar onder begrensd , zodat de rij begrensd is.
\)
Eigenlijk is dit eenvoudig een gevolg van wat ik net deed. Neem de deelrij $|u_{N+1}|,|u_{N + 2}|,…..$, dewelke monotoon dalend en begrensd is. Elke monotoon dalende en begrensde rij heeft een limiet. De deelrij dus ook en bijgevolg de oorspronkelijke ook.
In de derde stap bewijs ik dat de limiet nul is.
\(
Stel dat deze immers niet nul is, maar $l \in \mathbb{R}_{0}$ dan geldt :
$\lim\limits_{n \to \infty} |\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| = $\dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} |u_{n + 1}|}{\lim\limits_{n \to \infty} |u_{n }|} = \dfrac{l}{l} = 1$, wat in strijd is met het gegeven
\)
De rij Stel dat deze immers niet nul is, maar $l \in \mathbb{R}_{0}$ dan geldt :
$\lim\limits_{n \to \infty} |\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}| = $\dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} |u_{n + 1}|}{\lim\limits_{n \to \infty} |u_{n }|} = \dfrac{l}{l} = 1$, wat in strijd is met het gegeven
\)
\(|u_{n}|\)
convergeert dus naar 0. Bijgevolg convergeert ook \($ u_{n}$\)
naar nul.Iemand zin om na te kijken?
