Springen naar inhoud

Stelling ivm rijen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Elrond

    Elrond


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2012 - 19:39

Hallo allen,

ik heb een stelling ivm rijen die ik heb bewezen, althans dat denk ik. Iemand zin om mijn bewijs na te kijken, want het is al weer enkele jaren geleden dat ik dit soort dingen voor het laatst deed.

De stelling die ik wilde bewijzen is :

LaTeX

Nu heb ik het bewijs in drie stappen geleverd. Ten eerste bewijs ik dat de rij naar boven begrensd is.
Daarenboven heb ik eerst bewezen dat LaTeX naar 0 convergeert.

LaTeX

In de tweede stap bewijs ik dat de rij convergeert.

Eigenlijk is dit eenvoudig een gevolg van wat ik net deed. Neem de deelrij $|u_{N+1}|,|u_{N + 2}|,…..$, dewelke monotoon dalend en begrensd is. Elke monotoon dalende en begrensde rij heeft een limiet. De deelrij dus ook en bijgevolg de oorspronkelijke ook.

In de derde stap bewijs ik dat de limiet nul is.

LaTeX

De rij LaTeX convergeert dus naar 0. Bijgevolg convergeert ook LaTeX naar nul.

Iemand zin om na te kijken? :-)

Veranderd door Elrond, 24 juni 2012 - 19:39


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 juni 2012 - 08:48

Volgens mij kan dit wat efficiënter. Tonen dan |u(n)| convergeert is een goed idee, want |u(n)| naar 0 betekent inderdaad ook u(n) naar 0.

Omdat |u(n+1)|/|u(n)| limiet |a|<1 heeft, geldt in elk geval (van een zekere N) dat |u(n+1)| < |u(n)|, zodat de rij |u(n)| alvast dalend is (vanaf een zekere N). Bovendien is |u(n)| duidelijk naar onder begrensd, dus daarmee heb je al convergentie.

Dan volgt nog de stap waarin je toont dat de limiet 0 is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Elrond

    Elrond


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2012 - 10:24

Omdat |u(n+1)|/|u(n)| limiet |a|<1 heeft, geldt in elk geval (van een zekere N) dat |u(n+1)| < |u(n)|, zodat de rij |u(n)| alvast dalend is (vanaf een zekere N). Bovendien is |u(n)| duidelijk naar onder begrensd, dus daarmee heb je al convergentie.


Ik heb dat nog extra bewezen, daarom dat het zo uitgebreid wordt. Ik geef toe dat het bewijzen van dit onderdeel, beter in een hulpstelling gegoten kan worden zodat het bewijs van deze stelling minder overladen raakt.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures