[natuurkunde] Traagheidsmoment berekenen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 01-07-'12, 20:34

Puntje

Berichten: 316

Traagheidsmoment berekenen

Een dunne, uniforme schijf heeft een massa M en een straal R. In deze schijf wordt een circulair gat gemaakt met straal R/4, gecentreerd op een afstand R/2 van het midden van de schijf. Bereken het traagheidsmoment van de schijf ten opzichte van een as door het midden van de schijf (loodrecht op de schijf).

Ik dacht het als volgt op te lossen. De schijf zonder gat heet een traagheidsmoment
\(\frac{1}{2}MR^2\)
. Ik heb berekend dat de hoeveelheid massa die er weggehaald wordt gelijk is aan
\(\frac{M}{16}\)
. Ik dacht dan het nieuwe traagheidsmoment te berekenen door het traagheidsmoment van het verwijderde schijfje af te trekken van het totale traagheidsmoment. Dit is dan
\(I=\frac{1}{2}MR^2-\frac{1}{2}\frac{M}{16}\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{63MR^2}{128}\)
.

Dit komt behoorlijk in de buurt maar klopt niet met het antwoord:
\(\frac{247MR^2}{512}\)
.

63/128=0.4921875

247/512=0,4824219

IK denk dat mijn hele idee van het 'traagheidsmoment van het gat' aftrekken van het originele traagheidsmoment niet klopt. Kan iemand dit uitleggen? Misschien met behulp van
\(I=\int r^2dm\)
? Alvast bedankt!
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 20:40

Typhoner

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Traagheidsmoment berekenen

de verwijderde schijf zit niet mooi in het midden, althans dat is wat ik opmaak uit de vraag. De formule die je geeft geldt dus niet voor dat stukje. Deze geldt immers voor schijf die draait om zijn middelpunt.
This is weird as hell. I approve.
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 20:44

Puntje

Berichten: 316

Re: Traagheidsmoment berekenen

Het gat met zijn midden een afstand R/2 verwijderd van het midden van de grote schijf. Dus daarom gebruik in R/2 in de tweede term van mijn vergelijking.
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 20:51

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Traagheidsmoment berekenen

Het antwoord is goed

Zie je kans om een nette tekening te maken van de situatie
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 20:58

Puntje

Berichten: 316

Re: Traagheidsmoment berekenen

Schematische tekening is te vinden in de bijlage. Het kleine gat heeft straal R/4. De as gaat dus het vlak in door het midden van de grote schijf.
Bijlagen
schijf.jpg
schijf.jpg (14.33 KiB) 1140 keer bekeken
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:07

Puntje

Berichten: 316

Re: Traagheidsmoment berekenen

Hoe ik een traagheidsmoment moet afleiden weet ik overigens ook wel. Voor de schijf:
\(I=\rho \int r^2 dV\)
\(dV=2\pi r Ldr\)
met L de dikte van de schijf.
\(I=2 \pi \rho L \int_0^R r^3dr=\frac{\pi \rho LR^4}{2}=\frac{1}{2}MR^2\)
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:08

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Traagheidsmoment berekenen

Laten we de rotatieas die door het midden (zwaartepunt) van die grote schijf gaat as A noemen

Laten we de rotatieas die door het centrum(zwaartepunt) van dat kleine schijfje met straal R/4 gaat asB noemen.

Het massatraagheidsmoment J van die grote schijf (zonder dat gat erin) t.o.v. de as A is
\(J=\frac{1}{2}MR^2 \)
Het kleine schijfje heeft een massa van M/16

Bereken nu eens het massatraagheidsmoment van het kleine schijfje t.o.v. rotatieas B

Je zou dan uit moeten komen op
\(J=\frac{MR^2}{512} \)
Ben je dit met me eens?
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:24

Puntje

Berichten: 316

Re: Traagheidsmoment berekenen

Hier kom ik ook op uit:
\(J=\frac{1}{2}\frac{M}{16}\left(\frac{R}{4}\right)^2=\frac{MR^2}{512}\)
Ik begrijp alleen niet waarom we J tenopzichte van B willen weten, terwijl we een I ten opzichte van A willen weten.
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:31

Typhoner

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Traagheidsmoment berekenen

Puntje schreef: ↑zo 01 jul 2012, 21:24
Ik begrijp alleen niet waarom we J tenopzichte van B willen weten, terwijl we een I ten opzichte van A willen weten.
omdat het eerste makkelijk is.

Ken je een truc om een traagheidsmoment rond één as om te zetten naar een moment rond een andere?
This is weird as hell. I approve.
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:36

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Traagheidsmoment berekenen

We gaan nu het massatraagheidsmoment van het kleine schijfje berekenen t.o.v. de rotatieas A die door het middelpunt van die grote schijf gaat.

Hiervoor gebruiken we de verschuivingsstelling van Steiner

Dus de J van het kleine schijfje t.o.v. de as A is
\(J_{t.o.v. A}=\frac{MR^2}{512}+{(\frac{1}{2}R)}^2 \cdot \frac{M}{16}=\frac{9MR^2}{512} \)
Zie je dat?
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:38

Puntje

Berichten: 316

Re: Traagheidsmoment berekenen

Stelling van Steiner:
\(I=I_{CM}+Md^2\)
\(I_{CM}\) is het traagheidsmoment door het massamiddelpunt, oftewel door B (=J). d is de afstand naar een parallelle as, hier dus R/2.

Dus
\(I=\frac{MR^2}{512}+M\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{129MR^2}{512}\)
.

Edit: Ik heb M ingevuld in plaats van M/16. Dus inderdaad
\(I=\frac{9MR^2}{512}\)
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:48

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Traagheidsmoment berekenen

Dat laatste massatraagheidsmoment moeten we aftrekken van het massatraagheidsmoment van die grote schijf (zonder gat erin)t.o.v. as A

Dus de J die we zoeken is
\(J=\frac{1}{2}MR^2-\frac{9MR^2}{512} \)
Omhoog

Bericht 01-07-'12, 21:50

Puntje

Berichten: 316

Re: Traagheidsmoment berekenen

Ah, nu snap ik het pas. Dat komt inderdaad op het antwoord uit. Bedankt voor de moeite!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”