Springen naar inhoud

Diagonaliseerbaarheid van deze matrix


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juli 2012 - 10:49

LaTeX
Waar de coefficienten modulo 17 representeren. Gegeven is het karakteristieke polynoom LaTeX

Ook gegeven:
LaTeX

(i) Formuleer stelling Cayley-Hamilton en laat zien dat LaTeX
==> gelukt met euclidische deling

(ii) Bepaal de inverse van Y
==> LaTeX

(iii) Is Y diagonaliseerbaar?

Hoe moeten we dit oplossen?
Met eigenwaarden en -vectoren komen we er niet uit, maar ook met LaTeX lukt het niet (D=diagonaalmatrix).

Iemand een idee hoe dit moet?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juli 2012 - 18:40

Of kunnen we hier gewoon kijken of de kolomvectoren lineair onafhankelijk zijn?

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 juli 2012 - 12:48

(i) Formuleer stelling Cayley-Hamilton en laat zien dat LaTeX


==> gelukt met euclidische deling

Kun je even uitleggen hoe je dit hebt bewezen? Misschien heb je (1 van de 2) manier(en) in gedachte die ik ook zie, maar ik ben niet zeker...

Voor je "echte" vraag, zie ik zo meteen helaas niets handigs... Er is wel 1 stelling die ik hier zou willen gebruiken, maar dat lukt, denk ik, niet :P. Ik denk er nog wat over.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2012 - 12:22

Gewoon een staartdeling met als deler het karakteristieke polynoom, en LaTeX .
Je vindt dan dacht ik LaTeX rest 1, dus modulo gerekend is LaTeX

Veranderd door Jaimy11, 08 juli 2012 - 12:22


#5

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2012 - 17:17

Bekijk per eigenwaarde of de meetkundige multipliciteit gelijk is aan de algebraische multipliciteit. Zo ja, dan is de matrix diagonaliseerbaar.

Edit: Excuses, volgens mij is dit probleem niet zo eenvoudig.

Veranderd door Puntje, 08 juli 2012 - 17:18


#6

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juli 2012 - 21:43

Met eigenwaarden en -vectoren komen we er niet uit

:P

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juli 2012 - 10:35

Gewoon een staartdeling met als deler het karakteristieke polynoom, en LaTeX

.
Je vindt dan dacht ik LaTeX rest 1, dus modulo gerekend is LaTeX

Persoonlijk zou ik dat iets anders aanpakken (al is het nog vrij analoog)... Je ziet meteen dat X8 - 1 deelbaar is door X4 + 1, dus per definitie moet dan Y8 - 1 = 0. Andere methode: je weet, weer per definitie, dat Y4 + 1 = 0, dus Y4 = -1, dus (Y4)² = (-1)² = 1.

Op je originele vraag helaas nog steeds geen antwoord...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2012 - 10:57

Uit het feit dat LaTeX , met LaTeX één van de 4-de machtswortels van -1, volgt onmiddellijk dat Y diagonaliseerbaar is. De minimaalpolynoom bevat immers enkel lineaire factoren.

Ik moet toegeven dat ikzelf enkel 'experimenteel' tot die 4-de machtswortels kom, maar er zijn er inderdaad 4 verschillende.

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juli 2012 - 11:05

Experimenteel is niet nodig volgens mij: x4+1 = (x²+1)² - 2x². Nu kun ontbinden in een product van 2 tweedegraadsveeltermen en daarvan de wortels zoeken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2012 - 11:29

Ik ben niet helemaal mee. Uiteraard zijn er geen oplossingen over R, we zoeken deze over Z/17 (over C zijn er ook oplossingen, die zoek je dus NIET, en deze zijn veel makkelijker te vinden dan met de methode die je suggereert, gewoon via de polaire voorstelling).

Veranderd door eendavid, 10 juli 2012 - 11:30


#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juli 2012 - 12:28

Ik weet dat we over Z_17 oplossingen zoeken, maar dat gaat toch ook op mijn manier (die uiteraard ook over C werkt, maar daar inderdaad wat moeilijk is)? Om nu te splitsen in twee tweedegraadsveeltermen over Z_17, zoek je de wortel van 2 in Z_17. Deze is 6, zoals je vrij eenvoudig kunt inzien (want 6² = 36 = 2 (mod 17)). En dan ben je weer vertrokken, toch?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2012 - 12:41

OK, dat werkt natuurlijk wel. Maar dan gaat het dus om tweemaal een modulo-wortel zoeken. Dat kan je dan ook meteen van -1 doen, precies wat ik als 'experimenteel' beschreef:
LaTeX , LaTeX ,
LaTeX ,LaTeX , LaTeX , LaTeX .
In feite vind ik dat minder experimenteel dan wat je suggereert. Maar dat zal smaak zijn.

Veranderd door eendavid, 10 juli 2012 - 12:43


#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juli 2012 - 12:48

Okee, dat gaat inderdaad nog vlotter :). Ik had onder "experimenteel" eerder verstaan "met de computer" en dat vond ik hier niet echt nodig. Maar dan zitten we op dezelfde golflengte.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 juli 2012 - 13:03

Kan iemand de post van eendavid nog wat meer toelichten waarom die kwadraten worden genomen?
En heeft iemand een idee waarom Y^3 dan gegeven is?
Ik dacht namelijk, Y^3 gegeven en Y^-1=-Y^3 dat je dan toch wellicht de formule uit bovenstaande post kon gebruiken?

#15

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 juli 2012 - 13:27

Je zoekt de 4-de machtswortels van -1. Een manier om de 4-de machtswortels te vinden is door 2 keer de 2-de machtswortels te nemen. Dus in de eerste vergelijkingslijn van post #12 vinden we de 2de-machtswortels van -1, en in de tweede vergelijkingslijn vinden we de 2de-machtswortels daarvan. Je vindt dus een factorisatie van LaTeX , die je leert dat alle eigenwaarden verschillen. Daaruit volgt onmiddellijk diagonaliseerbaarheid.

Ze hebben je allicht Y^3 gegeven zodat je de inverse expliciet kan checken. Uiteraard kan men je gerust redundante informatie geven waarvan je dan zelf beslist of je deze echt nodig hebt.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures