Springen naar inhoud

Lineair (on)afhankelijk, welke vector kan weg?,


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2012 - 15:17

Hallo,
ik zit met het volgende probleem:
Stel je hebt een willekeurige mxm matrix,
nu wil ik bepalen of deze matrix lineair afhankelijk is of niet.
Dus ik bekijk de determinant.
Nu wil ik weten - als mijn matrix lineair afhankelijk is - welke vectoren ik kan verwijderen om een onafhankelijk stelsel te verkrijgen.
Is hier iets algemeens voor? Of kun je gewoon willekeurig 1 vector verwijderen?
Alvast bedankt,

Veranderd door Vogeltjes, 06 juli 2012 - 15:19


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juli 2012 - 15:33

Je bedoelt misschien of de kolommen (of rijen) van die matrix lineair onafhankelijk zijn? Die kan je namelijk beschouwen als vectoren; maar één matrix op zich kan niet "lineair afhankelijk" zijn.

Als de determinant 0 is, en de kolommen (of rijen) dus niet lineair onafhankelijk zijn, dan kan je niet zomaar een willekeurige rij schrappen. Bekijk bijvoorbeeld de matrix:

LaTeX

De kolommen zijn duidelijk lineair onafhankelijk want kolom 2 is het dubbel van kolom 1. Je kan echter niet kolom 3 schrappen om een lineair onafhankelijk stel van twee kolommen te bekomen, je zal kolom 1 of kolom 2 moeten schrappen...

Je kan de matrix naar echelonvorm brengen ('Gauss-eliminatie', 'rijreduceren') en dan kan je kolommen aflezen die overeenstemmen met lineair onafhankelijke kolommen van de oorspronkelijke matrix.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2012 - 11:34

Je bedoelt misschien of de kolommen (of rijen) van die matrix lineair onafhankelijk zijn? Die kan je namelijk beschouwen als vectoren; maar één matrix op zich kan niet "lineair afhankelijk" zijn.

Als de determinant 0 is, en de kolommen (of rijen) dus niet lineair onafhankelijk zijn, dan kan je niet zomaar een willekeurige rij schrappen. Bekijk bijvoorbeeld de matrix:

LaTeX



De kolommen zijn duidelijk lineair onafhankelijk want kolom 2 is het dubbel van kolom 1. Je kan echter niet kolom 3 schrappen om een lineair onafhankelijk stel van twee kolommen te bekomen, je zal kolom 1 of kolom 2 moeten schrappen...

Je kan de matrix naar echelonvorm brengen ('Gauss-eliminatie', 'rijreduceren') en dan kan je kolommen aflezen die overeenstemmen met lineair onafhankelijke kolommen van de oorspronkelijke matrix.

Oja, natuurlijk!
En is Gauss-eliminatie de enige manier om er achter te komen? Of zijn er toevallig ook andere manieren, als je een heel grote matrix hebt bijvoorbeeld.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juli 2012 - 13:09

Bedoel je rekentechnisch 'efficiëntere' manieren? Misschien wel, maar ik weet er zo direct geen. Voor grotere matrices lijkt me dat sowieso geen aangename klus om met de hand te doen, maar met een computer bijvoorbeeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2012 - 17:11

Bedoel je rekentechnisch 'efficiëntere' manieren? Misschien wel, maar ik weet er zo direct geen. Voor grotere matrices lijkt me dat sowieso geen aangename klus om met de hand te doen, maar met een computer bijvoorbeeld.

ok, ja ik moet juist bedenken hoe j een computer dat zou kunnen laten doen ;)

#6

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2012 - 17:57

Als de kolommen van een LaTeX matrix A lineair onafhankelijk zijn, dan gelden ook de volgende stellingen:
  • A is inverteerbaar;
  • LaTeX heeft alleen de triviale oplossing;
  • LaTeX ;
  • 0 is geen eigenwaarde van A;
  • De gereduceerde echelonvorm van A is LaTeX ;
  • A heeft n pivotkolommen;
  • A kan uitgedrukt worden als het product van elementaire matrices.
Er horen veel meer stellingen in het rijtje thuis, maar deze zijn misschien bruikbaar.

Veranderd door Puntje, 08 juli 2012 - 17:57


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juli 2012 - 20:55

Maar volgens mij was de vraag vooral: als de kolommen lineair afhankelijk zijn, hoe vind je dan de overbodige (lineair afhankelijke) kolommen, of nog: hoe kan je de kolommen uitdunnen tot een lineair onafhankelijk stel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures