Bewijs gezocht

Bartjes

Ik loop steeds vast in mijn pogingen een bewijs rond te krijgen. Om de lezer de moeite te besparen allerlei zaken door te nemen die voor het bewijs irrelevant zijn vermeld ik hier alleen de essentiële zaken. (Wie toch wil weten wat de achtergrond van mijn vraag is kan in mijn blog terecht.) Om te beginnen wat definities:

Bartjes schreef: ↑vr 02 sep 2011, 00:04
1. De formele getallen definiëren we als volgt:

1. Alle reële getallen zijn formele getallen.

2. Als A en B formele getallen zijn dan is
\( (A) \clubsuit (B) \)
dat ook.

3. Als A en B formele getallen zijn dan is
\( (A) \diamondsuit (B) \)
dat ook.

4. Alleen die getallen zijn formele getallen die dat volgens een of meer van de bovenstaande drie regels zijn.

De formele getallen zijn dus formele uitdrukkingen bestaande uit reële getallen met eventueel nog haakjes en klaveren- en ruiten-tekens volgens de bovenstaande vier regels. Alleen identieke formele getallen A en B noemen we gelijk (genoteerd als A = B).

Bartjes schreef: ↑vr 02 sep 2011, 14:49
2. Op grond van definitie 1. is het duidelijk dat ieder formeel getal bij vervanging van de
\( \clubsuit \)
-tekens door
\(+\)
-tekens en de
\( \diamondsuit \)
-tekens door
\(.\)
-tekens overgaat in een bijbehorende rekenkundige uitdrukking. Deze uitdrukking levert bij uitrekenen voor ieder formeel getal een eenduidig bepaald reëel getal op. Voor alle formele getallen A noemen we het zojuist omschreven bijbehorende reële getal de reële waarde rw(A) van A. Voor het triviale geval dat de resulterende uitdrukking (en dus ook het formele getal) enkel uit een reëel getal bestaat, beschouwen we dit reële getal zelf als de reële waarde.

Bartjes schreef: ↑vr 02 sep 2011, 15:25
3. We noemen het formele getal A alleen inwisselbaar voor het formele getal B - genoteerd als
\( A \spadesuit B \)
- indien rw(A) = rw(B) en daarbij rw(A) en rw(B) allebei ongelijk aan nul zijn. Die laatste bepaling is toegevoegd omdat we binnen dit systeem "verschillende" nullen willen kunnen onderscheiden.

Bartjes schreef: ↑za 03 sep 2011, 14:20
5. We noemen het formele getal A alleen strikt gelijkaardig aan het formele getal B - genoteerd als
\( A \, \heartsuit_s \, B \)
- in de onderstaande gevallen:

i. A en B zijn identiek.

ii. Er zijn formele getallen E en F zodat:
\( A = (E) \clubsuit (F) \)
en
\( B = (F) \clubsuit (E) \)
.

iii. Er zijn formele getallen E en F zodat:
\( A = (E) \diamondsuit (F) \)
en
\( B = (F) \diamondsuit (E) \)
.

iv. Er zijn formele getallen E, F en G zodat:
\( A = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)
en
\( B = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \)
.

v. Er zijn formele getallen E, F en G zodat:
\( A = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \)
en
\( B = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)
.

Bartjes schreef: ↑zo 04 sep 2011, 11:40
7. We noemen het formele getal A alleen tamelijk gelijkaardig aan het formele getal B - genoteerd als
\( A \, \heartsuit_t \, B \)
- wanneer er formele getallen E en F bestaan waarvoor
\( E \, \spadesuit \, F \)
of
\( E \, \heartsuit_s \, F \)
zodanig dat er een stukje van A is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal A in B omzet. Dit stukje van A mag eventueel heel A zijn.

Bartjes schreef: ↑zo 04 sep 2011, 23:34
9. We noemen het formele getal A alleen gelijkaardig aan het formele getal B - genoteerd als
\( A \, \heartsuit \, B \)
- indien er een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)
bestaat zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \,\, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \,\, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \,\, ; \, ... \,\, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)
en
\( A = E_1 \)
&
\( B = E_n \)
.

Nu wil ik voor reële getallen x en y bewijzen dat:

\( (x) \diamondsuit (0) \,\, \heartsuit} \,\, (y) \diamondsuit (0) \,\,\, \& \,\,\, x,y \neq 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x = y \)

.

Wie ziet er een mogelijkheid? Of is de te bewijzen stelling wellicht niet eens waar?

Bartjes

- SCHETS VAN EEN BEWIJS -

Stel dat voor de reële getallen x en y geldt dat:

\( (x) \diamondsuit (0) \,\, \heartsuit} \,\, (y) \diamondsuit (0) \,\,\, \& \,\,\, x,y \neq 0 \)

.

In dat geval zou er dus een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)

bestaan zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \,\, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \,\, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \,\, ; \, ... \,\, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)

en

\( (x) \diamondsuit (0) = E_1 \,\, \& \,\, (y) \diamondsuit (0) = E_n \)

.

Het is nu zo dat we de rij

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \,\, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \,\, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \,\, ; \, ... \,\, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)

met

\( (x) \diamondsuit (0) = E_1 \,\, \& \,\, (y) \diamondsuit (0) = E_n \)

.

om kunnen zetten in een rij:

\( F_1 \, \heartsuit_t \, F_2 \,\, ; \, F_2 \, \heartsuit_t \, F_3 \,\, ; \, F_3 \, \heartsuit_t \, F_4 \,\, ; \, ... \,\, ; \, F_{n-1} \, \heartsuit_t \, F_n \)

met

\( (x) \diamondsuit (1) = F_1 \,\, \& \,\, (y) \diamondsuit (1) = F_n \)

.

Dit is als volgt in te zien. De opeenvolgende paren van tamelijk gelijkaardige formele getallen E_k berusten steeds op ofwel de inwisselbaarheid ofwel de strikte gelijkaardigheid van stukjes van de E_k's. Nu speelt bij de strikte gelijkaardigheid de grootte van de reële getallen die in de formele getallen optreden geen enkele rol. Dus wat dat betreft kunnen we in plaats van

\( (x) \diamondsuit (0) \)

net zo goed uitgaan van

\( (x) \diamondsuit (1) \)

. Bij de inwisselbaarheid ligt de zaak subtieler. We mogen alleen stukjes met een reële waarde ongelijk aan nul verwisselen. De stukjes die in E_k mogen worden verwisseld bevatten nooit een vanuit E₁ aan E_k overgedragen nul. Dus die verwisselingen kunnen exact zo als in de rij van de E_k in de rij van de F_k worden herhaald. Dus bestaat de zo parallel aan de rij van de E_k gevormde rij van de F_k eveneens uit opeenvolgende paarsgewijze tamelijk gelijkaardige formele getallen. Bijgevolg vinden we dat:

\( (x) \diamondsuit (1) \,\, \heartsuit \,\, (y) \diamondsuit (1) \)

.

En dus wegens stelling 23. uit de pdf dat:

\( \mbox{rw}((x) \diamondsuit (1)) \,\, = \,\, \mbox{rw}((y) \diamondsuit (1)) \)

\( x . 1 \, = \, y . 1 \)

\( x = y \)

.

Met name van de rode bewering ben ik niet zeker.

Bartjes

Om het bewijs te kunnen voltooien is het handig nog wat meer greep op de formele getallen te krijgen. Formele getallen zijn gedefinieerd als een specifiek type formele uitdrukkingen waarin ook reële getallen voorkomen (zie definitie 1. uit de pdf). Dit maakt de volgende definitie mogelijk:

We noemen een reëel getal nul dat voorkomt in een formeel getal A onaantastbaar precies dan wanneer er géén formeel getal D met reële waarde ongelijk aan nul bestaat zodanig dat D identiek is aan een stukje van A waarin het eerstgenoemde reële getal nul zich bevindt. Een nul die niet onaantastbaar is noemen we aantastbaar.

Wat voorbeelden:

De nul in

\( (4) \diamondsuit (0) \)

is onaantastbaar.

De nul in

\( (4) \clubsuit (0) \)

is aantastbaar.

In

\( ((5) \clubsuit (0)) \, \diamondsuit (0) \)

is de eerste nul aantastbaar, en de tweede nul onaantastbaar.

eendavid

Ik zie op het eerste zicht geen antwoord op volgende vraag. Waarom vormen de reële getallen, met

\(\clubsuit\)

gegeven door +, en

\(\diamondsuit\)

gegeven door * (of andersom), geen voorbeeld van formele getallen? Ik denk dat het zou helpen als je dat zou uitleggen.

EvilBro

iv. Er zijn formele getallen E, F en G zodat: .

v. Er zijn formele getallen E, F en G zodat: .

Wat is de toegevoegde waarde van (v)?

Edit: Ik hoop dat het duidelijk is waar ik naar verwijs, want ik krijg de quote niet correct gekopieerd.

EvilBro

Oh, ik zie het al...

Bartjes

@ eendavid.

Formele getallen zijn (per definitie) alleen gelijk wanneer ze als formele uitdrukking identiek zijn. Dus bijvoorbeeld:

\( (3) \clubsuit (0) \, \neq \, 0 \)

Die aparte kaartsymbooltjes gebruik ik om duidelijk aan te geven dat hier géén sprake is van een optelling en vermenigvuldiging. Ik introduceer later wel de relatie van gelijkaardigheid (weergeven met het teken

\( \heartsuit \)

), maar ook deze relatie valt niet (helemaal) samen met de gelijkheidsrelatie voor de reële getallen. Zo geldt de volgende stelling:

25. Het formele getal 0 is alleen gelijkaardig aan het formele getal 0 zelf.

(Zie: http://www.wetenscha...&attach_id=9135 )

Mijn bedoeling is een getallensysteem uit te werken dat weliswaar op het systeem van de reële getallen lijkt, maar dat toch net een slag anders is. Daarbij wil ik ook graag dat er iets niet triviaals uit rolt. Vandaar alle gekunsteld aandoende definities.

Mijn theorie van de formele en metaformele getallen dreigde vast te lopen in technische details, totdat ik het idee kreeg op een axiomatische manier verder te gaan (zoals in mijn blog). De technische nitty-gritty wil ik daarbij als het ware onder de motorkap stoppen, en de essentiële eigenschappen van de metaformele getallen (die op de formele getallen zijn gebaseerd) wil ik in de axioma's vastgelegen. Ongeveer zoals men dat ook met de reële getallen zelf doet, zodra men heeft gezien dat hun constructie mogelijk is.

Resumerend:

De formele getallen zijn in essentie formele uitdrukkingen waarmee niet kan worden gerekend.

Er bestaat wel een gelijkaardigheidsrelatie tussen formele getallen die in de buurt komt van de gelijkheidsrelatie tussen de reële getallen, maar daar toch op sommige belangrijke punten van verschilt.

Voor de metaformele getallen (die equivalentieklassen van formele getallen zijn) zijn wel een optelling en vermenigvuldiging gedefinieerd. Daar gebruik ik ook gewoon de tekens '+' en '.' voor.

De aanduiding 'metagetallen' gebruik ik voor alle objecten die aan de axioma's in mijn blog voldoen.

Het probleem waar ik nu nog mee zit is dat het er naar uit ziet dat de huidige axioma's het niet toelaten te bewijzen dat de equivalent van onderstaande stelling waar of onwaar is:

Voor alle reële getallen x en y geldt:

\( (x) \diamondsuit (0) \,\, \heartsuit} \,\, (y) \diamondsuit (0) \,\,\, \& \,\,\, x,y \neq 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x = y \)

.

Ik wil dat nu eerst bewijzen, zodat het daaraan equivalente resultaat ook aan de axioma's kan worden toegevoegd. Het zonder meer toevoegen van een extra axioma zonder dat bekend is of er een systeem is dat aan dat uitgebreide stelsel axioma's voldoet is immers onverantwoord.

EvilBro schreef: ↑wo 11 jul 2012, 14:26
Oh, ik zie het al...

Mooi.

eendavid

Bartjes schreef: ↑wo 11 jul 2012, 14:31
@ eendavid.

Formele getallen zijn (per definitie) alleen gelijk wanneer ze als formele uitdrukking identiek zijn. Dus bijvoorbeeld:

\( (3) \clubsuit (0) \, \neq \, 0 \)

Aha, dat verklaart één en ander. Je formele getallen hebben dan een "graded" structuur (over een vrij ingewikkeld ideaal van (n;m)-tuples), maar ik weet niet of dat je in de praktijk veel verder zal helpen. Omdat je (denk ik) de graded ruimte restringeert tot de ruimte van homogene elementen vind je wel geen graded vector space. Je operaties zijn alleszins bewust geen afbeeldingen van je verzameling naar je volledige verzameling, maar een afbeelding van een (n;m) element naar een (n+1;m) of (n;m+1) element.

Voordat ik je in concreto verder kan helpen moet ik meer tijd vrijmaken. Bijvoorbeeld het gebrek aan transitiviteit van

\(\heartsuit_t\)

is me nog niet helemaal duidelijk.

Bartjes

eendavid schreef: ↑wo 11 jul 2012, 15:15
Aha, dat verklaart één en ander. Je formele getallen hebben dan een "graded" structuur (over een vrij ingewikkeld ideaal van (n;m)-tuples), maar ik weet niet of dat je in de praktijk veel verder zal helpen. Omdat je (denk ik) de graded ruimte restringeert tot de ruimte van homogene elementen vind je wel geen graded vector space. Je operaties zijn alleszins bewust geen afbeeldingen van je verzameling naar je volledige verzameling, maar een afbeelding van een (n;m) element naar een (n+1;m) of (n;m+1) element.

Dat is voor mij abracadabra. Maar mocht het voor mijn project zinnig zijn die begrippen te bestuderen, dan zal ik dat doen. Het systeem van de metaformele getallen is volgens mij een zogeheten commutatieve ringoïde, waar ik op het internet helaas maar weinig over kon vinden.

Voordat ik je in concreto verder kan helpen moet ik meer tijd vrijmaken. Bijvoorbeeld het gebrek aan transitiviteit van
\(\heartsuit_t\)
is me nog niet helemaal duidelijk.

De opeenvolgende relaties inwisselbaarheid en strikte gelijkaardigheid, tamelijke gelijkaardigheid en gelijkaardigheid worden steeds "netter". Zo is de gelijkaardigheid een equivalentierelatie (zie stelling 10. v/d pdf).

De tamelijke gelijkaardigheid is niet transitief. Zie bijvoorbeeld het onderstaande geval:

\( A = ( (1) \, \clubsuit \, (-1)) \,\, \clubsuit \,\, ((2) \, \clubsuit \, (-2)) \)

,

\( B = ( (-1) \, \clubsuit \, (1)) \,\, \clubsuit \,\, ((2) \, \clubsuit \, (-2)) \)

,

\( C = ( (-1) \, \clubsuit \, (1)) \,\, \clubsuit \,\, ((-2) \, \clubsuit \, (2)) \)

.

eendavid

OK, ik begrijp het. Ik dacht dat je met je definitie van

\(\heartsuit_s\)

in essentie wilde dat

\(\clubsuit\)

, en

\(\diamondsuit\)

, commutatief en distributief was tov een

\(\heartsuit\)

-relatie. Nu blijkt dat dit niet zo is, begrijp ik de motivatie niet zo goed voor de definitie van

\(\heartsuit_s\)

: je zou deze toch gemakkelijk tot een relatie kunnen verheffen (door E,F voor B te vervangen door E',F' met E',F' strikt gelijkaardig aan E resp. F, een inductieve definitie dus)? Daarvoor zou dan vrij direct de gevraagde stelling volgen. Maar goed, ik vermoed dat je zoiets al wel geprobeerd hebt en ik hou mijn off-topic commentaren verder voor mij. Stuur me een pb ofzo als je ooit denkt dat een dergelijke discussie je kan verderhelpen.

Toch nog 1 opmerking. Gegeven dat

\( (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G))\neq ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G))\)

is dit duidelijk geen ringoide. Het zou een ringoide worden wanneer je kijkt naar equivalentieklassen onder

\(\heartsuit_s\)

, waarbij

\(\heartsuit_s\)

de hierboven vermelde relatie is. De graded eigenschap staat trouwens los van een dergelijke karakterisatie. Bijvoorbeeld, als je naar dergelijke equivalentieklassen zou kijken, bekom je een graded commutatieve ringoïde.

Bartjes

eendavid schreef: ↑wo 11 jul 2012, 18:51
OK, ik begrijp het. Ik dacht dat je met je definitie van
\(\heartsuit_s\)
in essentie wilde dat
\(\clubsuit\)
, en
\(\diamondsuit\)
, commutatief en distributief was tov een
\(\heartsuit\)
-relatie. Nu blijkt dat dit niet zo is, begrijp ik de motivatie niet zo goed voor de definitie van
\(\heartsuit_s\)
: je zou deze toch gemakkelijk tot een relatie kunnen verheffen (door E,F voor B te vervangen door E',F' met E',F' strikt gelijkaardig aan E resp. F, een inductieve definitie dus)? Daarvoor zou dan vrij direct de gevraagde stelling volgen. Maar goed, ik vermoed dat je zoiets al wel geprobeerd hebt en ik hou mijn off-topic commentaren verder voor mij. Stuur me een pb ofzo als je ooit denkt dat een dergelijke discussie je kan verderhelpen.

Al die verschillende relaties zijn gaandeweg ontstaan omdat er op weg naar een zo elegant mogelijke structuur (die nog wel steeds van de reële getallen moest verschillen) steeds weer moeilijkheden opdoken. Het is best mogelijk dat iemand zoals jij die er met een frisse blik tegenaan kijkt, een slimmere manier ziet. Die verdient dan de voorkeur. Sterker nog: als een dergelijke vereenvoudiging mogelijk is (zonder dat de resulterende structuur triviaal wordt), kan ik beter op dat spoor verder gaan. Maar ik begrijp nu nog niet goed wat je bedoelt.

Toch nog 1 opmerking. Gegeven dat
\( (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G))\neq ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G))\)
is dit duidelijk geen ringoide. Het zou een ringoide worden wanneer je kijkt naar equivalentieklassen onder
\(\heartsuit_s\)
, waarbij
\(\heartsuit_s\)
de hierboven vermelde relatie is.

De formele getallen vormen inderdaad nog geen ringoïde, die krijg je pas na het vormen van equïvalentieklassen (die ik t.o.v.

\( \heartsuit \)

genomen heb). De metaformele getallen vormen wel een ringoïde, en de axioma's zijn ook zo gekozen dat deze voor de metaformele getallen opgaan (wat ik nog wel een keer zorgvuldig moet nalopen).

Bartjes

Idee: Stel dat A en B twee tamelijk gelijkaardige formele getallen zijn, en dat A' en B' de formele getallen zijn die uit A en B ontstaan wanneer we de onaantastbare nullen in A en B door enen vervangen. Geldt dan steeds dat: rw(A') = rw(B') ?

Bartjes

Bartjes schreef: ↑wo 11 jul 2012, 22:44
Idee: Stel dat A en B twee tamelijk gelijkaardige formele getallen zijn, en dat A' en B' de formele getallen zijn die uit A en B ontstaan wanneer we de onaantastbare nullen in A en B door enen vervangen. Geldt dan steeds dat: rw(A') = rw(B') ?

Waarschijnlijk niet - kom er morgen op terug...

Bartjes

Bartjes schreef: ↑wo 11 jul 2012, 22:44
Idee: Stel dat A en B twee tamelijk gelijkaardige formele getallen zijn, en dat A' en B' de formele getallen zijn die uit A en B ontstaan wanneer we de onaantastbare nullen in A en B door enen vervangen. Geldt dan steeds dat: rw(A') = rw(B') ?

Tegenvoorbeeld!

Laat:

\( A = ((0) \diamondsuit (0)) \, \clubsuit \, ((0) \diamondsuit (1)) \)

,

\( B = (0) \, \diamondsuit \, ((0) \, \clubsuit \, (1)) \)

.

Dan geldt:

\( A \,\, \heartsuit_s \, B \)

.

Dus ook:

\( A \,\, \heartsuit_t \, B \)

.

De onaantastbare nullen in A en B zijn hieronder onderstreept aangegeven:

\( A = ((\underline{0}) \diamondsuit (\underline{0})) \, \clubsuit \, ((\underline{0}) \diamondsuit (1)) \)

,

\( B = (\underline{0}) \, \diamondsuit \, ((0) \, \clubsuit \, (1)) \)

.

Derhalve vinden we bij vervanging van de onaantastbare nullen door enen:

\( A' = ((1) \diamondsuit (1)) \, \clubsuit \, ((1) \diamondsuit (1)) \)

,

\( B' = (1) \, \diamondsuit \, ((0) \, \clubsuit \, (1)) \)

.

Voor de reële waarden komt er dan:

\( \mbox{rw}(A') = 1.1 \, + \, 1.1 = 2 \)

,

\( \mbox{rw}(B') = 1 . (0 + 1) = 1 \)

.

Zodat:

\( \mbox{rw}(A') \neq \mbox{rw}(B') \)

.

Bartjes

Mogelijk is de groep van de onaantastbare nullen nog te ruim gekozen?

We noemen een reëel getal nul dat voorkomt in een formeel getal A frivool precies dan wanneer de reële waarde van het formele getal A gelijk is aan de reële waarde van het formele getal A* dat men verkrijgt door de bewuste nul in A door het reële getal een te vervangen.

In formele getallen voorkomende reële getallen nul die zowel onaantastbaar als niet frivool zijn noemen we onkreukbaar.

Even uitproberen op het eerdere tegenvoorbeeld voor de onaantastbare nullen. Laat:

\( A = ((0) \diamondsuit (0)) \, \clubsuit \, ((0) \diamondsuit (1)) \)

,

\( B = (0) \, \diamondsuit \, ((0) \, \clubsuit \, (1)) \)

.

Dit keer zijn hieronder de onkreukbare nullen in A en B onderstreept aangegeven:

\( A = ((0) \diamondsuit (0)) \, \clubsuit \, ((\underline{0}) \diamondsuit (1)) \)

,

\( B = (\underline{0}) \, \diamondsuit \, ((0) \, \clubsuit \, (1)) \)

.

Derhalve vinden we bij vervanging van de onkreukbare nullen door enen:

\( A' = ((0) \diamondsuit (0)) \, \clubsuit \, ((1) \diamondsuit (1)) \)

,

\( B' = (1) \, \diamondsuit \, ((0) \, \clubsuit \, (1)) \)

.

Voor de reële waarden komt er dan:

\( \mbox{rw}(A') = 0.0 \, + \, 1.1 = 1 \)

,

\( \mbox{rw}(B') = 1 . (0 + 1) = 1 \)

.

Zodat:

\( \mbox{rw}(A') = \mbox{rw}(B') \)

.

Dat gaat nu dus goed – is er op basis van de onkreukbaarheid dan wel een sluitend bewijs mogelijk?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bewijs gezocht

Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht

Re: Bewijs gezocht