Goldbach bewijzen

Onwetend

Een tijd geleden heb ik het op dit forum over goldbach gehad, en over het feit of dit te bewijzen viel. Ik kan me herinneren dat ik er destijds zeer van overtuigd was dat het vermoeden juist is, ma ook dat het moeilijk is e.e.a. echt te bewijzen. Ik weet niet meer waarom e.e.a. destijds niet is doorgezet, want ik heb er een hoop over nagedacht, maar blijkbaar is het een beetje in de vergetelheid geraakt. Toen ik een week geleden op een andere regelmaat stuitte, kwam ik eens weer bij goldbach terecht. Ik kan me niet meer precies alles herinneren maar heb een hoop weer weten te reconstrueren, van wat ik er toen de tijd nou allemaal van dacht. ergens in een oude doos moet ik er ook nog wel papieren van hebben, maar dit heb ik helaas nog niet gevonden.

E.e.a. was toendertijd grotendeels gebaseerd op het grootste gat dat je tussen twee priemgetallen kan hebben, met behulp van het postulaat van Bertrand: n < p < 2n, in combinatie met de hoeveelheid priemgetallen die er moet onder een bepaald getal (x of 2x) moeten zijn volgens de priemgetal telfunctie of Euler. Met de gedachtegang van nu kan ik daar nog het feit aan toevoegen dat de verdeling van priemgetallen enigzins gelijk matig moet zijn, omdat de verdeling van niet-priemgetallen dat ook is.

Bij wijze van spreke in de basis van de basis:

Een bepaald deel van de getallenlijn schetst altijd een bereik (bijvoorbeeld 1 tot 100), schept dit 100 postities. als er zich hiertussen 10 priemgetallen bevinden, weet je in elk geval dat het grootste gat tussen twee priemgetallen maximaal 90 kan zijn. dan zijn de priemgetallen het extreemst verdeeld (alles aan 1 kant en 1 aan de andere kant).

met de kennis van nu kan je dan zeggen dat er ook het getal 2 is, waarmee als het ware stapjes van 2 gemaakt worden. hierdoor kan het grootste gat in eens nog maar 80 zijn. en met het getal 3 erbij, nog slechts 66. enzenzenz.

De gedachte was o.a., dat als je dit grootste gat dan afzette tegenover de hoeveelheid priemgetallen en de hoeveelheid combinaties die je hiermee kan maken, dat de hoeveelheid combinaties (antwoorden) dan vele malen groter is, dan het grootste gat wat gevuld moet worden, dus dat elke combinatie voorkomt.

Echter lukte het me toendertijd niet om e.e.a. genoeg af te bakenen. De hoeveelheid combinaties werd niet groter dan het grootste gat, alleen bij kleinere getallen was dit het geval.

Daarbij wil ik nog zeggen als 'kantekening': het werken met Euler z'n hoeveelheid van getallen schept voor mij enkele problemen, omdat het in principe pas in het oneindige (dus nooit) zeker is. Als je Goldbach hierop wilt baseren, is goldbach ook pas in het oneindige waar, maar het leuke is nu juist dat Goldbach voor ieder individueel geval waar moet zijn. dat is wel een stukje anders. Je zou misschien dan statistiek erin kunnen betrekken, maar daar gaat het bij mij fout. Ik begrijp het hele idee met foutmarge van Euler niet echt, en weet eigenlijk ook niet wat dit nu voor zekerheden biedt, En of de maximale fout uberhaupt berekend kan worden. Dus of er voor een getal A (waaronder x priemgetallen zitten), met enige zekerheid te zeggen valt hoeveel priemgetallen er 100% ZEKER onder MOETEN zitten en x dus minimaal moet zijn.

Tot zover leuk. Nu wil ik het alsnog gaan proberen. Ik weet dat e.e.a. nog niet sluitend is, maar wieweet lukt het. Ik heb er erg veel uiteenlopende gedachten over, dus dit kon best eens een lang en onoverzichtelijk topic worden. Het is moeilijk de draad zomaar weer op te pakken, dus heb ik als instap maar een 'nieuwe' theorie bedacht, waar overigens veel van mn gedachten van toen dus wel in voor komen.

Ik probeer e.e.a. zo simpel mogelijk te houden, zodat de gedachtengang een voor een wordt uitgespreid. In mn gebruikte voorbeeld is voor alle duidelijkheid dus niet de werkelijkheid maar een denkbeeldige situatie genomen.

We nemen een getallen lijn:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

met daarop een aantal priemgetallen (onderstreept)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

De bedoeling van Goldbach is, dat 2 priemgetallen samen elk getal N moeten vormen.

In de bovenstaande situatie leidt dat tot de volgende tabel van mogelijkheden:

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

deze tabel is geldig voor alle uitkomsten tot 12 (=11+1).

Als een getal tot 12 hier niet tussen staat, kan je het dus niet maken door 2 priemgetallen op te tellen.

Wat in de tabel opvalt, is dat verschillende antwoorden vaker voorkomen oftewel overlappen. dit komt door de regelmaat die in de volgorde van priemgetallen / niet priemgetallen zit.

Nu gaan we een priemgetal vervangen door een niet priemgetal.

De getallen lijn is nu:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

de tabel die erbij hoort.

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

zoals je ziet is ieder getal nog steeds aanwezig. je kan hoogstens spreken van wat meer variatie, omdat nu in de tabelop 8 zowel 10 als 12 volgt. In deze vorm heeft het dus ook geen gevolgen, behalve dat de tabel iets kleiner is. de variatie zorgt er eigenlijk zelfs voor dat de tabel 'nuttiger' wordt ingevuld, want er is minder overlap met hetzelfde resultaat.

Echter geldt dit natuurlijk niet altijd en is het niet zo simpel. Er zijn een aantal situaties mogelijk waarin de variatie zo groot wordt, dat niet elk antwoord meer voorkomt.

Volgens mij zijn er slechts 2 soorten situaties denkbaar. waarbij dit het geval is. Wanneer je kan aantonen dat deze 2 situaties niet kunnen voorkomen, heb je, zo lijkt mij, dan een bewijs. Of eigenlijk zijn het 2 factoren die een rol spelen: 'de grote van de gaten' en de 'regelmaat in de gaten'.

situatie 1: Er is een gat dat zo groot is, dat het niet door de getallen ervoor kan worden opgevangen.

[/size] [size=85][/size] [size=85]

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

[/size]

Het getal 8 en 10 kunnen in bovenstaande situatie niet gevormd worden. Dus zou het vermoeden niet gelden.

Dat een situatie als deze voorkomt lijk mij vrijwel uitgesloten. Ik hoop dat iemand op dit forum dit ook kan onderbouwen. Mijn eigen kijk erop is dat een situatie als die hierboven al niet strookt met het postulaat van bertrand. Er moet een logische beschrijving zijn van hoe groot zo'n gat dan moet zijn, om daadwerkelijk anderen uit de sluiten. Ik zou zeggen dat dit dan groter moet zijn dan 1/2 n, met als n het hoogste getal. Aangezien het aantal priemgetallen altijd sneller zal toenemen dan de regelmaat 2n, (of n2), zal bovenstaande situatie dus alleen nog in het begin kunnen optreden, en daar kunnen we controleren dat dat niet het geval is.

Ik dacht zelfs dat het zo was dat een gat tussen twee priemgetallen onder een bepaald getal x nooit groter kan zijn dan ((wortelX)+X) of iets dergelijks, maar kan dat nergens terugvinden, of het beredeneren.

Situatie 2 die het bestaan van combinatie kan tegenwerken, is de regelmaat in de grote van de gaten. de tabel hieronder geeft een situatie weer waar telkens een gat van 4 optreedt.

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

dit gooit gelijk heel wat roet in het eten. de getallen 4, 8, 12, 16, en 20 komen niet meer tussen de antwoorden voor. Dat is erg jammer.

Echter is hierboven nog niet de situatie zoals die is met priemgetallen. Er is nergens een gat van 2 aanwezig. die is er bij priemgetallen wel. Hetgeen wat wie kunnen controleren, tezeamen met de hoeveelheid van Euler geeft aan dat voordat er een gat van 4 kan zijn, er al een aantal gaten van 2, moeten zijn geweest. (Dit betekent niet automatisch dat de gaten ook in stappen van 2 moeten toenemen, het kan best zo zijn dat voor 8 al 6 is geweest), maar het betekent wel dat als er een gat van 8 is, er al relatief veel kleinere stappen, dus heel veel van 2, veel van 4, of normaal aantal van 6 moeten zijn geweest. Dit lijkt misschien eerder bij Situatie 1 te horen, maar is hier van belang, want, wanneer we een kleine wijziging toepassen, maakt dat enorme verschillen.

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

Bij de tabel hierboven is slechts 1 gat van 4 ongedaan gemaakt, oftewel er zijn 2 stappen van 2 bij. Hiermee is het gehele probleem meteen opgelost. alle combinaties zijn weer aanwezig, alle getallen tot 22 kunnen weer worden gemaakt.

De situatie zoals we hem bij priemgetallen aantreffen, is een gecombineerde versie van deze twee beschreven situaties. Extreem weergegeven is het enigzins alsvolgt:
[s][/s][s][/s][s][/s][s][/s]

	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41
3	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44
5	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46
7	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48
9	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50
11	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52
13	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54
15	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56
17	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58
19	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60
21	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62
23	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64
25	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66
27	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68
29	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70
31	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72
33	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74
35	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76
37	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78
39	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80
41	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80	82

Je begint met een aantal opeenvolgende priemgetallen, vervolgens komen er gaten, eerst van 2, dan van 4, en dan van 6. In het voorbeeld van hierboven neemt de grote van gaten toe met machten van 2, in werkelijkheid is dit (volgens euler) geloof ik zelfs in machten van 10. oftewel het duurt veel langer voor het ritme van stappen van gemiddeld 4 naar gemiddeld 6 gaat.

Dat hierboven alle getallen voorkomen, is een gevolg van het feit dat het grootste gat van nietpriems dat overwonnen moet worden (31-25=)6 daarvoor al meerdere keren wel overwonnen is.

Wat je hiervoor zal moeten aantonen, is dus dat als er gaten van 10 zijn, deze is een eerder stadium al (veel vaker) moeten zijn overwonnen. Ook al is dit pure logica, ik zou op het moment niet weten hoe je dit op moet schrijven. wel hoe ik het in andere woorden kan zeggen: Als er een afstand van niet-priems is, moeten er hiervoor al priems zijn geweest die op deze afstand (en kleinere afstanden) bij elkaar lagen.

Wanneer je de hoeveelheid priems hebt tov de waarde van het priemgetal, tezamen met de verdeling hiervan (of liever de verdeling van niet-priemgetallen), en deze worden in principe allebei gegeven door euler, en leiden tot een bepaalde 'dichtheid', moet het denk ik toch mogelijk zijn om weer te geven dat dit wel het geval MOET zijn. en dat naarmate hoe verder je komt, er alleen maar veel meer mogelijkheden bij komen.

Om een indruk te geven: volgens Euler geldt rond het getal N = 1.000.000.000 dat gaten tussen priemgetallen gemiddeld 21 groot zijn. oftewel, op enige afstand VOOR N = 1.000.000.000 zouden alles afstanden van 2 tot 42(veiligheidsfactor 2) al een keer voor moeten komen tussen de priemgetallen die al geweest zijn. Dat deze afstanden van 2 tot 42 voor komen is vrij aannemelijk, sterker nog, het is al het geval tussen de getallen 1 tot 100. Dit moet toch aannemlijk te maken zijn adhv wederom Eulers hoeveelheid van getallen, en de dichtheid die hieruit volgt.

het zou ook leuk zijn het bovenstaande dmv goldbach zelf aan te tonen, dan heb je helemaal een mooi bewijs. Alleen zegt Goldbach bij mijn weet niets over de onderlinge afstand tussen 2 priemgetallen.

Ik merk dat ik moe begin te worden en minder scherp, maar ik zal er binnenkort zeker nog op terugkomen en verder op ingaan. ik heb deze post in 1 ruk door geschreven, maar post hem maar gewoon, al jullie kritiek is zeer welkom. Zoals ik al zei zal het me uberhaupt verbazen als er een bewijs gevonden wordt, zelf kan ik dat in ieder geval niet, laat staan het formuleren. Desalniettemin kan je het altijd proberen.

keyzplayer

Onwetend schreef: ↑do 12 jul 2012, 00:17
met daarop een aantal priemgetallen (onderstreept)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Het kleinste priemgetal is dus 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers.(Wikipedia)

Verder is 9, dat als priemgetal is onderstreept, geen priemgetal want het is naast door 1 en 9 ook deelbaar door 3.

Onwetend

keyzplayer schreef: ↑do 12 jul 2012, 12:17
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Het kleinste priemgetal is dus 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers.(Wikipedia)

Verder is 9, dat als priemgetal is onderstreept, geen priemgetal want het is naast door 1 en 9 ook deelbaar door 3.

lees het stuk dat zich 3 zinnen voor hetgeen waar je naar verwijst staat. ik gebruik even 'denkbeeldige' priemgetallen om het idee duidelijk te maken. wanneer je gelijk al het priem zijn van een getal meeneemt in deze 'werkwijze' wordt het er niet bepaald duidelijker op, vandaar de keuze.

Marko

Dat zaken aannemelijk zijn brengt je geen stap verder. Dat een en ander aannemelijk is, is al bekend, zie bijvoorbeeld hier. De uitdaging is om het onomstotelijk aan te tonen. Met enkel gemiddelde verdelingen kom je er niet.

Dat is de "ellende" met verdelingen: Het feit dat je een kans kent vertelt je nog niet wat de uitkomst van de volgende trekking zal zijn. Als ik weet dat 2 van de 10 balletjes rood gekleurd zijn, betekent dat niet dat als ik 5 balletjes pak er gegarandeerd 1 rood is.

Echelon

Ik zou er in ieder geval op deze manier niet teveel tijd in steken. Als je een bewijs wil vinden, zal dat moeten gelden voor heel de verzameling natuurlijke getallen. Dat betekent met jouw methode oneindig veel waarden die je moet controleren. Snap je dat een sluitend bewijs eerder abstracter gevonden moet worden?

Onwetend

Echelon schreef: ↑do 12 jul 2012, 21:57
Ik zou er in ieder geval op deze manier niet teveel tijd in steken. Als je een bewijs wil vinden, zal dat moeten gelden voor heel de verzameling natuurlijke getallen. Dat betekent met jouw methode oneindig veel waarden die je moet controleren. Snap je dat een sluitend bewijs eerder abstracter gevonden moet worden?

Het lijkt mij dat als je kan aantonen dat de verstorende factoren in het niet vallen naarmate je bij grotere getallen komt, en de verstoring niet meer toereikend is om een het vermoeden van goldbach niet te laten gelden, dat je dan de situatie bewijst.

Dit probeer ik hier te doen door de verstoring in kaart te brengen, het gedrag te beschrijven, en aan te tonen dat hetgeen uit mijn vorige zin zo is.

Marko

Als je dat zou willen, dan moet je dus aantonen dat die "verstoring" nooit groot genoeg kan zijn, met alle onregelmaat die er per definitie inzit...

Onwetend

Wel, volgens mij toon je dat aan door de 2 aspecten die de verstoring heeft goed genoeg te omschrijven.

Situatie 1

Onder n bevindt zich een gat dat groter is dan 1/2n, kan niet voorkomen. immers is er altijd een priemgetal tussen n < p < 2n.

we nemen n = 50

Stel dat het priemgetal tussen 50 en 100 nu 1 naast 2n ligt. oftewel 99 is een priemgetal. Er moet zich dan ook een priemgetal bevinden tussen 49 en 98. Het gat tussen 49 en 99 en dus het gat tussen 2 priemgetallen is dan per definitie kleiner dan 2n.

Situatie 2

enige regelmaat in de gaten. In principe KAN de regelmaat in gaten tussen priemgetallen een verstronende factor zijn, maar dit is enkel en alleen zo wanneer de grote van het gat nog niet eerder is overwonnen.

dat dit niet kan voorkomen, moet blijken uit de verdeling vanpriemgetallen/priemgetalstelling. Oftewel mbv (x / ln (x)). hieruit blijkt dat rond N=1miljard een gat ongeveer 21 zal zijn. Ook blijkt uit deze functie dat er onder 100 bijvoorbeeld 40 priemgetallen zitten. wanneer je 40 priemgetallen verdeeld over deze 100 plekken moeten er wel 2 priemgetallen met een onderlinge afstand van 21 te vinden zijn. Als je deze twee feiten (bij situatie 2) tezamen kan brengen, en het tweede feit goed (=logisch) kan omschrijven, en de 'foutmarge' van de priemgetalstelling erin mee kan nemen, heb je denk ik bewijs.

Al zouden jullie tenminst kunnen bevestigen dat de zinnen onder de kopjes 'situatie 1' en 'situatie 2' kloppen, dan heb ik daar ook zeker al wat aan.

Marko

Uit de link die je geeft:

De priemgetalstelling stelt dan dat de limiet van het quotiënt van de twee functies π(x) en x / ln(x) gelijk wordt aan één als x tot oneindig nadert.

Deze notatie (en de stelling) zeggen niets over de limiet van het verschil van de twee functies als x tot oneindig nadert. Het gedrag van dit verschil gedraagt zich juist zeer gecompliceerd en het verschil is nauw gerelateerd aan de Riemann-hypothese.

Dus nogmaals: Met alleen die telfunctie kom je er niet. Wat jij als een kleine nog te nemen hobbel doet voorkomen (de "foutmarge") is juist de kern van het probleem.

Lees nog eens terug wat ik stelde over die rode balletjes.

Verder: De stelling die je bij situatie 1 beschrijft volgt uit het vermoeden van Goldbach, en kun je dus zeker niet gebruiken als bewijs.

Onwetend

Marko schreef: ↑vr 13 jul 2012, 11:25
Dus nogmaals: Met alleen die telfunctie kom je er niet. Wat jij als een kleine nog te nemen hobbel doet voorkomen (de "foutmarge") is juist de kern van het probleem.

Ik zei inderdaad ook al dat ik weinig van het 'foutmarge'idee begrijp, of er weinig over kan vinden. De vraag is: Is die foutmarge te berekenen? is de foutmarge onder een getal n bepaald, of niet?

Zoja, dan kan je ook een maximale afwijking bepalen, en is e.e.a. wellicht wel te gebruiken.

Zonee, dan is dat inderdaad een moeilijker te nemen hobbel.

Marko schreef: ↑vr 13 jul 2012, 11:25
Verder: De stelling die je bij situatie 1 beschrijft volgt uit het vermoeden van Goldbach, en kun je dus zeker niet gebruiken als bewijs.

dat is niet zo mooi. ik vraag me dan gelijk af: Als je die stelling weet te bewijzen, heb je dan ook het vermoeden voor Goldbach bewezen, of geld het alleen andersom? waarschijnlijk wel.

ik denk overigens wel dat er nog genoeg andere manieren zijn om in ieder geval situatie 1 te bewijzen. of in ieder geval zeer aannemlijk te maken.

Onwetend

Marko schreef: ↑vr 13 jul 2012, 11:25
Verder: De stelling die je bij situatie 1 beschrijft volgt uit het vermoeden van Goldbach, en kun je dus zeker niet gebruiken als bewijs.

De stelling die ik bij situatie 1 beschrijf is echter wel al bewezen. Dus het lijkt me dat je deze dan ook wel als bewijs kunt gebruiken. Volgens mij is situatie 1 hiermee sluitend.

Wat dus nog nodig is, is het bewijzen van het feit dat: als er ergens een serie van X niet priemgetallen is, er daarvoor al 2 priemgetallen zijn geweest die op deze afstand (en alle kleinere afstanden) van elkaar vandaan liggen.

klopt het dat je, als je dit tweede aan kan tonen, je een sluitend bewijs hebt?

Marko

De stelling die ik bij situatie 1 beschrijf is echter wel al bewezen. Dus het lijkt me dat je deze dan ook wel als bewijs kunt gebruiken. Volgens mij is situatie 1 hiermee sluitend.

Sluitend is het niet. Laat me een vergelijkbare situatie als in de tabel die jij bij situatie 1 beschrijft. In mijn hypotetische geval is 5 geen priemgetal, de priemgetallen onder 10 zijn 2, 3, 5 en 9. Met deze getallen kan ik het getal 8 niet vormen, toch is er nergens een gat groter dan n/2 en voldoet het aantal priemgetallen aan de telfunctie.

Wat dus nog nodig is, is het bewijzen van het feit dat: als er ergens een serie van X niet priemgetallen is, er daarvoor al 2 priemgetallen zijn geweest die op deze afstand (en alle kleinere afstanden) van elkaar vandaan liggen. klopt het dat je, als je dit tweede aan kan tonen, je een sluitend bewijs hebt?

Ook het aantonen van het tweede zal je niet helpen. Als er een gat m is tussen 2 priemgetallen p en q, dan betekent dat, dat ik de even getallen tussen 2p en 2q moet schrijven als een som van een priemgetal kleiner dan p en een priemgetal groter dan q. Maar jouw uitspraak heeft betrekking op priemgetallen kleiner dan p.

Onwetend

Marko schreef: ↑za 14 jul 2012, 11:54
Sluitend is het niet.

Nou volgens mij (en volgens wikipedia) wel. ik geef je een nb een link waar het bewijs staat. als het deel tot daartoe bewezen is, volgt de rest uit de redenatie die ik post #8 neerzet.

Marko schreef: ↑za 14 jul 2012, 11:54
Laat me een vergelijkbare situatie als in de tabel die jij bij situatie 1 beschrijft. In mijn hypotetische geval is 5 geen priemgetal, de priemgetallen onder 10 zijn 2, 3, 5 en 9. Met deze getallen kan ik het getal 8 niet vormen, toch is er nergens een gat groter dan n/2 en voldoet het aantal priemgetallen aan de telfunctie.

3 + 5 is toch 8? volgens mij spreken je 2e en 3e zin elkaar een beetje tegen. ik begrijp dan ook niet helemaal wat je bedoelt. Bovendien had ik al de kanttekening geplaatst dat het bij extreem kleine getallen niet per se hoeft te gelden (hoewel dat voor zover ik kan zien wel gewoon het geval is), maar dat naarmate je groter komt, dit steeds meer moet gaan gelden.

Marko schreef: ↑za 14 jul 2012, 11:54
Ook het aantonen van het tweede zal je niet helpen. Als er een gat m is tussen 2 priemgetallen p en q, dan betekent dat, dat ik de even getallen tussen 2p en 2q moet schrijven als een som van een priemgetal kleiner dan p en een priemgetal groter dan q. Maar jouw uitspraak heeft betrekking op priemgetallen kleiner dan p.

Neen, mijn uitspraak heeft betrekking op de variatie die je rondom p kan bereiken.

wanneer er een gat van 4 is, moet er daarvoor een verschil van 4 zijn tussen deze 2 priemgetallen (r&s). Dit is niet omdat je met deze 2 priemgetallen onderling dan de benodigde afstand kan maken. Dit is, omdat je dan, in de optelling van een priem kleiner dan p, en een priem groter dan p, kan varrieren tussen deze twee eerdergenoemde priemgetalen (r&s) voor p.

dus het is niet

p + q = benodigde uitkomst, maar

r + q OF s + q = benodigde uitkomst.

waarmee, onder de voorwaarde dat elke afstand (kleiner dan het gat) door r&s overbrugd kan worden, ook geldt dat ieder gat overbrugd kan worden.

ik zal het nog een keer uitgebreid opschrijven, mocht ik de fout in gaan, dan kunnen jullie tenminste ook zien waar het zit.

stel ik neem het bereik tussen 0 en X, en daartussen liggen overal priemgetallen, waaronder p en q.

hiermee vallen dan alle afstanden tot 2X te maken. iedere afstand valt op X verschillende manieren te maken. Tot zover logisch.

laten we nu alleen de uitkomsten van de priemgetallen die het dichtst bij elkaar liggen beschouwen.

Er zit een gat van 4 tussen p en q. Dit betekent, dat de 2 priemgetallen die het dichtst bij elkaar liggen, 4 van elkaar verwijderd zijn. dus komt er in de uitkomsten ipv een stap van 2 een stap van 4 wordt gevormd.

Wanneer we e.e.a. goed uitvoeren, dus 4 is het grootste gat wat er te vinden is, dan zitten er daarnaast dus kleinere gaten. (volgt ook uit Euler). een kleiner gat is 2, dus kunnen we, wanneer we q gelijk houden, en p met 2 verlagen, het gat alsnog overwinnen.

Het enige wat hiervoor echt noodzakelijk is, is denk ik dat je de stap p -2 (of q+2) kunt doen. (OF p-4 en q+2 enzenzenz, maar dat is in dit specifieke voorbeeld niet van belang.)

DIt is dus inderdaad een verbeterpuntje.

Wanneer je grootste gat dus 30 is, en gelijk daarnaast ligt een gat van 28, moet je inderdaad alle afstanden hebben tot en met 58 (het is de vraag in hoeverre dit in praktijk een wezenlijk verschil maakt, adhv ordes van groote, maar okay).

hierin zou nog verwerkt kunnen worden, dat als er een gat van 30 is, de kans aanzienlijk kleiner wordt dat er daarnaast ook een groot gat ligt, en de kans steeds groter wordt dat er een klein gat naast ligt.

Met het verbeterpuntje erin verwerkt, is het dus niet het grootste gat wat overbrugd moet worden, maar inderdaad de som van dat gat met alle gaten die eronder zouden kunnen liggen. oftewel, in bovenstaande voorbeeld, 30+28+26+24enzenzenz. Deze som zal nog steeds veel minder snel toenemen dan het aantal verschillende afstanden wat er te maken valt als gevolg van het aanal priemgetallen dat zich onder een afstand bevindt. dus is het verschil uiteindelijk niet heel relevant, maar je moet het zeker meenemen.

Ik begin er steeds meer van overtuigd te raken dat e.e.a. wel eens kan leiden tot wat moois.

Onwetend

Marko schreef: ↑za 14 jul 2012, 11:54
Sluitend is het niet. Laat me een vergelijkbare situatie als in de tabel die jij bij situatie 1 beschrijft. In mijn hypotetische geval is 5 geen priemgetal, de priemgetallen onder 10 zijn 2, 3, 5 en 9. Met deze getallen kan ik het getal 8 niet vormen, toch is er nergens een gat groter dan n/2 en voldoet het aantal priemgetallen aan de telfunctie.

ik heb er nog even naar gekeken en denk dat je de volgende getallenlijn bedoelt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

deze getallelijn is nogal misleidend, omdat je 2 erin meeneemt. Dat is alleen in dit specifieke geval van toepassing, in principe hebben alle priemgetallen (met uitzondering van het getal 2), een onderlinge afstand die deelbaar is door 2.alleen in dit specifieke geval nog niet.

Wanneer je ipv het getal 2 het getal 1 had gekozen, wat veel representatiever is voor het gedrag van priemgetallen, was het wel mogelijk geweest 8 te maken. juist door de keuze van 2 (het enige getal dat bij goldbach geen enkele rol van betekenis speelt), is het nu niet meer mogelijk.

Bovendien, wanneer je de getallenlijn t/m 7 beschouwd, is het gat tussen 3 en 7 maarliefst 4, terwijl 7/2 slechts 3,5 is. Dus, is het gat groter dan 1/2n, enis het inderdaad niet mogelijk, zoals ik ook bij situatie 1 beschreeft.

Echter is een gat van groter dan 1/2n dus niet mogelijk, dat was wat ik aan wilde tonen, en wat het postulaat van Bertrand omschrijft, en wat voor Goldbach enkele 'gedragsregels' schetst. Je voorbeeld voldoet niet aan de eisen die gegegeven worden door 'de natuur', en dus is het logisch dat je dan wel gaten zal vinden in je uitkomsten.

Er is mijn inziens dan ook nog steeds geen enkele reden te vinden waarom situatie 1 wel kan voorkomen. Mijn uitspraken wat betreft situatie 1 zijn gewoon geldig en correct. Er kan geen gat groter zijn dan 1/2n. situatie 1 kan niet voor komen.

Marko

Onwetend schreef: ↑za 14 jul 2012, 14:25
Nou volgens mij (en volgens wikipedia) wel. ik geef je een nb een link waar het bewijs staat. als het deel tot daartoe bewezen is, volgt de rest uit de redenatie die ik post #8 neerzet.

Ik heb het over jouw redenering in bericht #8. Die is niet sluitend, zoals ik in de zinnen daaronder laat zien.

3 + 5 is toch 8? volgens mij spreken je 2e en 3e zin elkaar een beetje tegen. ik begrijp dan ook niet helemaal wat je bedoelt.

Dat was een typfoutje. Ik had het over een hypothetisch geval, vergelijkbaar met wat jij beschreef. Daarin is 5 geen priemgetal, de priemgetallen tot 10 zijn dan 2, 3, 7 en 9. Dat geval voldoet prima aan de voorwaarde, er is geen gat groter dan n/2. Hij voldoet ook prima aan de telfunctie. Het getal 8 kan echter niet geschreven worden als som van deze getallen.

Bovendien had ik al de kanttekening geplaatst [...] dat naarmate je groter komt, dit steeds meer moet gaan gelden.

Dat moet je dan maar eens aantonen.

Neen, mijn uitspraak heeft betrekking op de variatie die je rondom p kan bereiken.

Je had het over "twee priemgetallen die al geweest moeten zijn op deze afstand"

ik zal het nog een keer uitgebreid opschrijven, mocht ik de fout in gaan, dan kunnen jullie tenminste ook zien waar het zit.

stel ik neem het bereik tussen 0 en X, en daartussen liggen overal priemgetallen, waaronder p en q.

hiermee vallen dan alle afstanden tot 2X te maken. iedere afstand valt op X verschillende manieren te maken. Tot zover logisch.

Dat is helemaal niet logisch. Welke afstanden je kunt maken hangt af van het aantal priemgetallen dat je hebt, en de onderlinge afstanden tussen die priemgetallen. Als je daar niks over weet kun je ook niks zeggen over wat mogelijk is.

Wanneer je grootste gat dus 30 is, en gelijk daarnaast ligt een gat van 28, moet je inderdaad alle afstanden hebben tot en met 58 (het is de vraag in hoeverre dit in praktijk een wezenlijk verschil maakt, adhv ordes van groote, maar okay).

hierin zou nog verwerkt kunnen worden, dat als er een gat van 30 is, de kans aanzienlijk kleiner wordt dat er daarnaast ook een groot gat ligt, en de kans steeds groter wordt dat er een klein gat naast ligt.

De kans kan wel kleiner zijn, maar daarmee is die kans nog niet 0. Als er een gat van 30 is, kan ernaast ook een gat van 100 liggen, en daarna weer een van 54. Het is niet zo dat er naaast een groot gat per se een kleiner gat moet liggen, net zomin als je bij het gooien van een dobbelsteen na een 6 per se een 1 moet gooien.

Ik begin er steeds meer van overtuigd te raken dat e.e.a. wel eens kan leiden tot wat moois.

Toch blijft er een fundamenteel probleem in je benadering: Dat een kleine kans niet gelijk is aan 0.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Goldbach bewijzen

Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

Re: Goldbach bewijzen

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41
3	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44
5	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46
7	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48
9	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50
11	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52
13	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54
15	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56
17	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58
19	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60
21	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62
23	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64
25	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66
27	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68
29	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70
31	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72
33	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74
35	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76
37	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78
39	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80
41	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80	82

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41
3	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44
5	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46
7	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48
9	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50
11	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52
13	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54
15	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56
17	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58
19	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60
21	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62
23	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64
25	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66
27	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68
29	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70
31	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72
33	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74
35	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76
37	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78
39	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80
41	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80	82

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11
1	2	4	6	8	10	12
3	4	6	8	10	12	14
5	6	8	10	12	14	16
7	8	10	12	14	16	18
9	10	12	14	16	18	20
11	12	14	16	18	20	22

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
7	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
9	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
11	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
13	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
15	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
17	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
19	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
21	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42

	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31	33	35	37	39	41
3	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44
5	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46
7	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48
9	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50
11	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52
13	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54
15	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56
17	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58
19	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60
21	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62
23	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64
25	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66
27	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68
29	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70
31	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72
33	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74
35	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76
37	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78
39	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80
41	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70	72	74	76	78	80	82