Springen naar inhoud

Verdeling van een kralenketting


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Onwetend

    Onwetend


  • >250 berichten
  • 307 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 17 juli 2012 - 17:19

Ik zit met een probleem waar ik maar niet uitkom en niet echt grip op kan krijgen. Daarom deel ik het hier:

Inleiding
We nemen een ketting bestaande uit een X aantal kralen. De ketting loopt rond, dus het begin sluit aan op het eind (er is geen begin en geen eind). Er zijn zwarte en witte kralen aan deze ketting, de verdeling hiervan in aan bepaalde regels gebonden. De belangrijkste regel, die gedurende het hele voorbeeld niet meer zal worden aangepast of veranderd, is:

>>>1. In zes achtereenvolgende kralen zitten NOOIT meer dan 2 zwarte kralen

Over het algemeen valt de ketting in te delen in N aantal aaneengesloten groepen met een bereik A. Bijvoorbeeld, als er X=20 kralen aan de ketting zitten, zijn er N=2 groepen met een bereik van A = 10 kralen. Maar eveneens ook N=5 groepen met A = 4 kralen. Er geldt dus bovendien ook: X = A keer N. De verschillende bereiken definieer je als VASTE groepen A1 A2 A3. Je wijst dus een kraal als nummer 1 aan, waarmee is bepaald welke kraal tot welke groep behoort.
Wanneer je een ‘geval’ of ‘casus’ beter gaat bekijken, definieer je in beginsel deze 3 termen.

De casus
We nemen een kralenketting van 18 kralen, en gebruiken X=18, N=3, A=6. Daarnaast stellen we de volgende regel op:

>>>>2. In iedere groep A (A=6) zitten 4 witte kralen, en 2 zwarte kralen.

We beschouwen de ketting in eerste instantie als een rechte lijn:
Wanneer je groep A1 als afzonderlijke groep beschouwt, kun je aan de hand van deze regel (2)bepalen dat er voor groep A1 verschillende opties zijn wat betreft verdeling:

z z w w w w
z w z w w w
z w w z w w
z w w w z w
z w w w w z

w z w w w z
w z w w z w
w z w z w w
w z z w w w

w w z w w z
w w z w z w
w w z z w w

w w w z w z
w w w z z w

w w w w z z

Oftewel, er zijn voor groep A1(A=6) 5 + 4 + 3 + 2 + 1=15 verschillende verdelingen.
Tot zover moet het denk ik nog wel te volgen zijn. Ook het volgende is nog logisch:
We hebben nu 1 groep van 6 kralen gedefinieerd. Aangezien zowel Regel (1) als Regel (2) betrekking hebben op een bereik van 6 kralen, zijn ze in principe nog verwisselbaar, of met andere woorden, een en dezelfde regel.( In een later stadium is dit niet meer zo, daarom maak ik ook het onderscheid.)

Stel we nemen de eerste uitkomst van Groep A1:

- z z w w w w –

En plaatsen dit in de ketting van X=18 kralen. Het feit dat de ketting rond is, en er twee zwarte

- z z w w w w – ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? -

Het feit dat de ketting rond is, plus het feit dat er niet meer dan 2 van elke 6 aaneengesloten kralen zwart kunnen zijn, plus het feit dat er 2 zwarte kralen naast elkaar liggen, leiden er toe dat er naast deze twee zwarten 4 witten moeten zitten. Oftewel:

- z z w w w w – ? ? ? ? ? ? - ? ? w w w w –

Vervolgens zijn er nog maar 2 plekken over, en aangezien er in elke groep ook 2 zwarten moeten zitten, kan je op deze manier de rest van de kralenketting invullen tot:

- z z w w w w – z z w w w w – z z w w w w –

Met andere woorden, kan je in bovenstaande geval met bovenstaande regels zeggen, dat de verdeling binnen 1 groep de verdeling binnen de gehele ketting definieert.
Er zijn dus ook nog steeds 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 verschillende verdelingen

Nu beschouwen we de ketting echter als een ronde, doorlopende ketting.
Bovendien voegen we de volgende aanname, of regel toe:

>>>>3 Het maakt niet uit of je de ketting met de klok mee of tegen de klok in bekijkt.

Maw, het speelt niet mee hoe de ketting ligt. Wanneer je de ketting als lijn zou beshouwen, zou dit betekenen dat het niet uitmaakt of je van rechts naar links of van links naar rechts gaat.
Wanneer je groep A1 dan als afzonderlijke (rondlopende) groep beschouwt, kun je nog slechts de volgende verschillende opties maken:

- z z w w w w -
- z w z w w w -
- z w w z w w –

Dat is een stuk minder. Waar in een lijn het aantal opties nog werd gegeven door SOM(A-1), is het mij hier al onduidelijker door welke formule de hoeveelheid gegeven wordt. Dit is volgens mij A / 2, en dan naar beneden afgerond, maar waarom dit zo is begrijp ik niet helemaal. Het is wel weer zo dat je dit kan doortrekken naar de ketting van 18 kralen, en daar dus ook slechts 3 mogelijkheden zijn.

Het probleem
Hoe leidt de aanpassing van regel (2) nu tot andere uitkomsten. Oftewel: hoe leidt een aanpassing van regel 2 nu tot verschillende hoeveelheden mogelijkheden. En door welke logica worden deze hoeveelheden gegeven.

Bijvoorbeeld:
We hebben de ketting met X=18 kralen,bereik A = 6 kralen, en N=3 groepen. Regel (1) en (3) blijven ongewijzigd. Regel (2) wordt echter:

A
2) In 2 van de 3 groepen A zitten 4 witte kralen, en 2 zwarte kralen,
In 1 van de 3 groepen A zitten 5 witte kralen en 1 zwarte kraal.

OF B
2) In elke groep A zitten 1 zwarte kraal en 5 witte kralen.

Wat hebben deze aanpassing voor gevolgen voor het aantal verschillende mogelijk uitkomsten?

Bij A kan ik de de volgende berekening nog wel volgen:

- Z z w w w w – z z w w w w – z z w w w w –

Er vervalt in groepA2 1 z. Hierdoor komen er opties vrij:

- Z z w w w w – z w w w w w – z z w w w w –
- Z z w w w w – w z w w w w – z z w w w w –

In geval 1 creeert het wegvallen van de z in A2 Ruimte voor de eerste z in A1 om zich te verplaatsen, en wel naar 4 posities, dus komen er 5 opties bij. Bovendien kan de eerste z in A1 worden verplaatst, maar slechts 1 plek. Daar wordt het voor mij al enigzins ongrijpbaar.

Wanneer je dan ook nog spiegelingen erin mee moet nemen, en dezelfde volgordes op verschillende plekken geen verschil maken, snap ik er helemaal nix meer van. Om maar niet te spreken over de verschillende opties om de redenatie mee te starten.

Veranderd door Onwetend, 17 juli 2012 - 17:23


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Onwetend

    Onwetend


  • >250 berichten
  • 307 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 19 juli 2012 - 20:28

Aangezien de reacties niet meteen binnenstromen vroeg ik me af: heeft dit en dit er iets mee te maken???? of is dat heel wat anders???

#3

arnerob

    arnerob


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2012 - 21:13

de formule A/2 geldt bij even aantal kralen omdat je 1 zwarte kraal als startpunt neemt, en de andere kan plaatsen op 1 van de helft overige 5 plaatsen. Eerst heb je de 2 gewone plaatsen, daarna heb je 1 plaats over en dit is dan ook een speciaal geval: als je alles drie plaatsen verder zet heb je dezelfde volgorde.

voor de rest heeft het volgens mij niets te maken met ringen, commutatief of niet, zij gaan over eigenschappen van bewerkingen enzo.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures