[wiskunde] IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Cura

Klintersaas schreef: ↑do 23 jul 2009, 22:47
(Herkomst: toelatingsexamen juli 1997)

24) De oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool \(y^2 = 4-x\) en de y-as bedraagt:

16

16/3

32/3

geen van de bovenstaande antwoorden is juist

Verborgen inhoud
Antwoord C.

Stel een vraag over deze oefening.

Ik krijg een wat vreemd antwoord uit deze opgave, in ieder geval eentje die niet aansluit bij een optie hierboven (en antwoord D is niet correct). Wat ik mij afvraag en waardoor ik mogelijk verder kom:

mag ik de formule \(y^2 = 4-x\) omschrijven tot \(y=\sqrt{(4-x)}\) ?

aadkr

Dat omschrijven van de formule heb je goed gedaan

Bedenk dat voor dat wortel teken een plus / min teken moet staan

Cura

aadkr schreef: ↑za 21 jul 2012, 17:32
Bedenk dat voor dat wortel teken een plus / min teken moet staan

Hoe bedoel je dat precies? De vergelijking wordt toch niet eens plots negatief door het omschrijven?

Xenion

Pectus schreef: ↑za 21 jul 2012, 17:39
Hoe bedoel je dat precies? De vergelijking wordt toch niet eens plots negatief door het omschrijven?

Als je een wortel neemt, dan is zowel die wortel met een + teken als met een - teken een oplossing.

4 = (+2)² = (-2)²

Merk ook op dat je de formule niet moét omschrijven naar y. Je kan ook werken naar x = 4-y². Je hebt dan een parabool die volgens de x as ligt. Je kan dan integreren volgens y en dan zit je niet met die wortel.

Cura

Xenion schreef: ↑za 21 jul 2012, 17:42
Als je een wortel neemt, dan is zowel die wortel met een + teken als met een - teken een oplossing.

4 = (+2)² = (-2)²

Ja ok.

Maar ehm als ik de formule omgezet heb kom ik op antwoord A uit, dat niet correct is:

: 2012-07-21 17.52.55.jpg (263.28 KiB) 187 keer bekeken

Je kan dan integreren volgens y en dan zit je niet met die wortel.

Hmm, hoe moet ik dat precies doen?

Dan ga ik het anders proberen uit te rekenen.

Je hebt dan dus: x = 4-y²

Integreren wordt dan x = 4y - 2y³

Dan kom ik echter op een negatieve waarde uit, vermoedelijk heb ik het bereik van 4 tot 0 niet goed?

Xenion

De grafiek ziet er zo uit:

[graph=-4,4,-4,4]'sqrt(4-x)','-sqrt(4-x)'[/graph]

Je moet de oppervlakte van het stukje rechts van de y as weten.

Vergelijking:

\(y = \pm \sqrt{4-x}\)

Merk op dat je in jouw tekening het onderste stuk niet hebt!

Je primitieve klopt ook niet, er ontbreekt een 3 in de noemer. Als je juist had gerekend kwam je 16/3 uit. Als je dan niet het onderste stuk had vergeten, dan had je 2*16/3 = 32/3

Vergelijking:

\(x = 4-y^2\)

De grenzen zijn 0 en 4 als je volgens x integreert, maar als je volgens y gaat niet. Je primitieve voor y² klopt ook niet.

Je bent waarschijnlijk niet gewoon van het op die manier te bekijken, maar als je intuïtief inziet hoe de integraal de oppervlakte berekent zou je het moeten begrijpen. Hier kan je via deze weg die lastige rationale breuken vermijden.

Cura

Aah, ja daarom was het ook zo belangrijk om de wortelfunctie plus en min te hebben...

Maar wat ik nog even niet begrijp is waarom de primitieven niet correct zijn; als je een functie hebt van \(f(x)= 2x + 6 \) dan is de primitieve toch gewoon \( F(x) = x^2+6x +C\) ? Dus waarom is een functie van \( x = 4-y²\) dan niet in primitivevorm \( x = 4y - (1/3)y^3\)?

Maar om het geheel nu goed door te hebben; eigenlijk zou ik dus het gebied boven de x-as kunnen berekenen en dat met twee vermenigvuldigen om het gehele gebied te hebben...?

Edit: haa, nu schrijf ik wel wat anders op als primitieve...denk een rekenfoutje in de eerdere poging dan!

Xenion

Pectus schreef: ↑za 21 jul 2012, 19:10
Maar om het geheel nu goed door te hebben; eigenlijk zou ik dus het gebied boven de x-as kunnen berekenen en dat met twee vermenigvuldigen om het gehele gebied te hebben...?

Ja, symmetrie herkennen en uitbuiten spaart soms rekenwerk. Bij parameterkrommen (cycloïde, cardioïde enzo) heb je dat ook dikwijls.

Lukt het nu ook om via y te werken? Zie je wat de grenzen daar worden en krijg je hetzelfde resultaat als volgens x?

Cura

Xenion schreef: ↑za 21 jul 2012, 19:20
Ja, symmetrie herkennen en uitbuiten spaart soms rekenwerk.

Altijd welkom!

Lukt het nu ook om via y te werken? Zie je wat de grenzen daar worden en krijg je hetzelfde resultaat als volgens x?

Je neemt daarbij de grenzen tussen 2 en -2 vermoed ik zo. Zal het even uitrekenen.

Edit: kom uit op 32/3, dus dan snap ik het denk ik op de 'y-manier' ook. Als je dat weet is het inderdaad misschien nog wel makkelijker dan met wortels en irritante breuken zitten klooien!

tempelier

Pectus schreef: ↑za 21 jul 2012, 17:14
Ik krijg een wat vreemd antwoord uit deze opgave, in ieder geval eentje die niet aansluit bij een optie hierboven (en antwoord D is niet correct). Wat ik mij afvraag en waardoor ik mogelijk verder kom:

mag ik de formule \(y^2 = 4-x\) omschrijven tot \(y=\sqrt{(4-x)}\) ?

Waarom zo moeilijk, verwissel de x en de y en het komt in een veel vertrouwdere vorm te staan.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as

Re: IOppervlakte begrensd door een parabool en de y-as