Springen naar inhoud

Rare limiet - Ik kom er niet uit...


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 13:38

Laat V(x) een reële veelterm in de reële variabele x zijn zodanig dat:

LaTeX ,

waarbij: LaTeX .


Voor het gemak noemen we een reële veelterm A(x) in de reële variabele x alleen dan verwant aan de reële veelterm B(x) in de reële variabele x wanneer er reële veeltermen E(x) en F(x) in de reële variabele x bestaan waarvoor E(0) = F(0) met E(0), F(0) [ongelijk] 0 zodanig dat er een stukje van A is dat identiek is aan E(x) en dat bij vervanging door F(x) de veelterm A(x) in B(x) omzet. Dit stukje van A(x) mag eventueel heel A(x) zijn.


Nu vraag ik mij af of je kan bewijzen dat ook voor alle aan de veelterm V(x) verwante veeltermen W(x) geldt:

LaTeX ,

waarbij: LaTeX , met dezelfde uitkomst Q als bij V(x).

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 14:01

Aanvullend nog:

Onder een reële veelterm versta ik hier iedere uitsluitend door middel van optellingen en vermenigvuldigingen uit reële getallen en variabelen gevormde uitdrukking. Wat voorbeelden:

4 + -1
(8x + 3).x + 5.x.x.x.x.888
x.(4 + 33 + -2,334)

Veranderd door Bartjes, 31 juli 2012 - 14:03


#3

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2012 - 14:34

Voor het gemak noemen we een reële veelterm A(x) in de reële variabele x alleen dan verwant aan de reële veelterm B(x) in de reële variabele x wanneer er reële veeltermen E(x) en F(x) in de reële variabele x bestaan waarvoor E(0) = F(0) met E(0), F(0) [ongelijk] 0 zodanig dat er een stukje van A is dat identiek is aan E(x) en dat bij vervanging door F(x) de veelterm A(x) in B(x) omzet. Dit stukje van A(x) mag eventueel heel A(x) zijn.

Bedoel je hier niet gewoon dat A en B verwant zijn aan elkaar als ze dezelfde eerste coëfficient hebben en deze niet nul is? oftewel: A en B zijn verwant if and only if LaTeX ? bewijs: neem E = A en F = B

of heb ik je definitie niet helemaal goed begrepen.?

Veranderd door Math-E-Mad-X, 31 juli 2012 - 14:37

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#4

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2012 - 14:41

Laat V(x) een reële veelterm in de reële variabele x zijn zodanig dat:

LaTeX

,

waarbij: LaTeX .

Als het voorgaande wat ik zei klopt, dan kan V nooit verwant zijn aan enige andere veelterm, want deze limiet impliceert dat V(0) = 0
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#5

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 14:46

Voorbeeld van mijn bedoeling:

V(x) = x.(55 + 3) + (x + 5.x)
W(x) = x.58 + (x + 5.x)

#6

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 15:02

Wellicht moet ik de definitie van een 'reële veelterm in de reële variabele x' wat verder aanscherpen, en wijst dat dan de weg naar een bewijs?

Onder gepreciseerde veeltermen versta ik precies die uitdrukkingen die aan de onderstaande regels voldoen:

i. Alle reële getallen zijn gepreciseerde veertermen.

ii. De reële variabele x is een gepreciseerde veelterm.

iii. Als A en B gepreciseerde veeltermen zijn, dan zijn (A) + (B) en (A) . (B) dat ook.

iv. Alleen die uitdrukkingen worden als gepreciseerde veeltermen beschouwd, die dat volgens de bovenstaande drie regels zijn.



Zo zou dan met een soort van inductie of recursie bewezen kunnen worden dat de te bewijzen stelling voor alle gepreciseerde veeltermen geldt?

Veranderd door Bartjes, 31 juli 2012 - 15:13


#7

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2012 - 15:25

Sorry, maar ik snap je niet. Wat is het verschil tussen jouw definitie van een gepreciseerde veelterm, en de standaard definitie van een veelterm, dat is, alle uitdrukkingen van de vorm:

LaTeX

en zou je expliciet kunnen aangeven of mijn stelling uit bericht nr. 3 correct is?
Zo nee, wat heb ik verkeerd begrepen?
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#8

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 15:44

Sorry, maar ik snap je niet. Wat is het verschil tussen jouw definitie van een gepreciseerde veelterm, en de standaard definitie van een veelterm, dat is, alle uitdrukkingen van de vorm:

LaTeX



en zou je expliciet kunnen aangeven of mijn stelling uit bericht nr. 3 correct is?
Zo nee, wat heb ik verkeerd begrepen?


De standaard definitie levert geen gepreciseerde veelterm. Om er een gepreciseerde veelterm van te maken zou je:

LaTeX

als

LaTeX

moeten schrijven.

Ik had er achteraf gezien beter aan gedaan dit topic direct met gepreciseerde veeltermen te formuleren. Met standaard veeltermen wordt het triviaal.

Na deze valse start zal ik in het volgende berichtje mijn probleem (nu hopelijk) juist formuleren.

#9

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 16:15

Eerst wat inleidende definities:


Onder gepreciseerde veeltermen verstaan we precies die formele uitdrukkingen die aan de onderstaande regels voldoen:

i. Alle reële getallen zijn gepreciseerde veeltermen.

ii. De reële variabele x is een gepreciseerde veelterm.

iii. Als A en B gepreciseerde veeltermen zijn, dan zijn (A) + (B) en (A) . (B) dat ook.

iv. Alleen die formele uitdrukkingen worden als gepreciseerde veeltermen beschouwd, die dat volgens de bovenstaande drie regels zijn.


(Voorbeeld: (x) + (5) en (5) + (x) zijn verschillende gepreciseerde veeltermen! Alleen gepreciseerde veeltermen die als formele uitdrukking identiek zijn, rekenen we gelijk.)


Onder de reële waarde rw(A(x)) van een gepreciseerde veelterm A(x) verstaan we de reële uitkomst die men verkrijgt wanneer men de waarde van de gepreciseerde veelterm op de voor reële veeltermen gebruikelijke wijze uitrekent.


We noemen een gepreciseerde veelterm A(x) alleen dan verwant aan de gepreciseerde veelterm B(x) wanneer er gepreciseerde veeltermen E(x) en F(x) bestaan waarvoor rw(E(0)) = rw(F(0)) met rw(E(0)), rw(F(0)) [ongelijk] 0 zodanig dat er een stukje van A(x) is dat identiek is aan E(x) en dat bij vervanging door F(x) de gepreciseerde veelterm A(x) in B(x) omzet. Dit stukje van A(x) mag eventueel heel A(x) zijn.



Nu zoek ik een bewijs voor het volgende vermoeden:

Laat V(x) een gepreciseerde veelterm zijn zodanig dat:

LaTeX ,

waarbij: LaTeX .


Dan geldt voor alle aan de gepreciseerde veelterm V(x) verwante gepreciseerde veeltermen W(x) dat:

LaTeX ,

waarbij: LaTeX , met dezelfde uitkomst Q als bij V(x).




Zijn er aan deze formulering nog onduidelijkheden?

#10

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2012 - 18:02

Okee, dat maakt het inderdaad een stuk duidelijker. Alleen zie ik nog steeds niet in waarom mijn stelling in bericht nr. 3 niet zou kloppen.

A en B zijn verwant if and only if

LaTeX
Je kunt immers gewoon A in zijn geheel vervangen door B (dus E = A en F = B).

Veranderd door Math-E-Mad-X, 31 juli 2012 - 18:02

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#11

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 18:07

We kunnen de verzameling der gepreciseerde veeltermen LaTeX ook langs cumulatieve weg opbouwen:

i. LaTeX is de verzameling der reële getallen LaTeX .

ii. LaTeX is de verzameling LaTeX aangevuld met de reële variabele x.

iii. Voor n [grotergelijk] 2 is LaTeX de verzameling LaTeX aangevuld met alle gepreciseerde veeltermen LaTeX en LaTeX waarbij LaTeX .

Vervolgens geldt:

LaTeX .

Veranderd door Bartjes, 31 juli 2012 - 18:20


#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 18:40

Okee, dat maakt het inderdaad een stuk duidelijker. Alleen zie ik nog steeds niet in waarom mijn stelling in bericht nr. 3 niet zou kloppen.

A en B zijn verwant if and only if

LaTeX


Je kunt immers gewoon A in zijn geheel vervangen door B (dus E = A en F = B).


In dat geval zou voor twee verwante gepreciseerde veeltermen A(x) en B(x) niet kunnen gelden dat rw(A(0)) = rw(B(0)) = 0 . Maar volgens mij kan dat wel:

A(x) = ((x) + (5)).(x) ,

B(x) = (5).(x) ,

E(x) = (x) + (5) ,

F(x) = 5 .

Veranderd door Bartjes, 31 juli 2012 - 18:44


#13

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 19:14

Nu zoek ik een bewijs voor het volgende vermoeden:

Laat V(x) een gepreciseerde veelterm zijn zodanig dat:

LaTeX

,

waarbij: LaTeX .


Dan geldt voor alle aan de gepreciseerde veelterm V(x) verwante gepreciseerde veeltermen W(x) dat:

LaTeX ,

waarbij: LaTeX , met dezelfde uitkomst Q als bij V(x).



Als dit vermoeden onwaar is moet er dus minstens één paar van verwante gepreciseerde veeltermen V(x) en W(x) bestaan zodat V(x) een gepreciseerde veelterm is waarvoor:

LaTeX ,

waar: LaTeX ;

maar waarbij voor de gepreciseerde veelterm W(x) niet geldt dat:

LaTeX ,

waarbij: LaTeX , met dezelfde uitkomst Q als bij V(x).



Als er in geen van de verzamelingen LaTeX zo'n paar is te vinden, is ons vermoeden bewezen.

Veranderd door Bartjes, 31 juli 2012 - 19:16


#14

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2012 - 21:29

In dat geval zou voor twee verwante gepreciseerde veeltermen A(x) en B(x) niet kunnen gelden dat rw(A(0)) = rw(B(0)) = 0 . Maar volgens mij kan dat wel:

A(x) = ((x) + (5)).(x) ,

B(x) = (5).(x) ,

E(x) = (x) + (5) ,

F(x) = 5 .

Maar zijn dan niet gewoon alle gepreciseerde veeltermen verwant aan elkaar? met E=A, F=B
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#15

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2012 - 21:44

We noemen een gepreciseerde veelterm A(x) alleen dan verwant aan de gepreciseerde veelterm B(x) wanneer er gepreciseerde veeltermen E(x) en F(x) bestaan waarvoor rw(E(0)) = rw(F(0)) met rw(E(0)), rw(F(0)) [ongelijk] 0 zodanig dat er een stukje van A(x) is dat identiek is aan E(x) en dat bij vervanging door F(x) de gepreciseerde veelterm A(x) in B(x) omzet. Dit stukje van A(x) mag eventueel heel A(x) zijn.


Maar zijn dan niet gewoon alle gepreciseerde veeltermen verwant aan elkaar? met E=A, F=B


Als het goed is wordt dat verhinderd door de bepaling "met rw(E(0)), rw(F(0)) [ongelijk] 0" in de definitie.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures