Onder welke voorwaarden geldt dit?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 02-08-'12, 20:48

Bartjes

Onder welke voorwaarden geldt dit?

In een vorig topic heb ik geprobeerd een vermoeden te bewijzen dat achteraf onwaar bleek te zijn. Dat is jammer, maar maakt het mij wel mogelijk mijn probleem nu scherper te formuleren.

Eerst wat inleidende definities:

Onder gepreciseerde veeltermen verstaan we precies die formele uitdrukkingen die aan de onderstaande regels voldoen:

i. Alle reële getallen zijn gepreciseerde veeltermen.

ii. De reële variabele x is een gepreciseerde veelterm.

iii. Als A en B gepreciseerde veeltermen zijn, dan zijn (A) + (B) en (A) . (B) dat ook.

iv. Alleen die formele uitdrukkingen worden als gepreciseerde veeltermen beschouwd, die dat volgens de bovenstaande drie regels zijn.

(Voorbeeld: (x) + (5) en (5) + (x) zijn verschillende gepreciseerde veeltermen! Alleen gepreciseerde veeltermen die als formele uitdrukking identiek zijn, rekenen we gelijk.)

Onder de reële waarde rw(A(x)) van een gepreciseerde veelterm A(x) verstaan we de reële uitkomst die men verkrijgt wanneer men de waarde van de gepreciseerde veelterm op de voor reële veeltermen gebruikelijke wijze uitrekent.

We noemen een gepreciseerde veelterm A(x) alleen dan verwant aan de gepreciseerde veelterm B(x) wanneer er gepreciseerde veeltermen E(x) en F(x) bestaan waarvoor rw(E(0)) = rw(F(0)) met rw(E(0)), rw(F(0)) [ongelijk] 0 zodanig dat er een stukje van A(x) is dat identiek is aan E(x) en dat bij vervanging door F(x) de gepreciseerde veelterm A(x) in B(x) omzet. Dit stukje van A(x) mag eventueel heel A(x) zijn.

Voor het gemak voeren we voor gepreciseerde veeltermen V(x) nog de onderstaande notatie in:
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(V(x))}{\mbox{d} x} \)
.[/size][/color]

Voor gepreciseerde veeltermen V(x) noemen we onderstaande de cruciale eigenschap:

\( \mbox{rw}(V(0)) = 0 \,\, \& \,\, \dot{V}(0) \neq 0 \)
.[/size][/color]

De gepreciseerde veeltermen die deze cruciale eigenschap bezitten noemen we cruciaal, en het feit dat een zekere gepreciseerde veelterm V(x) de cruciale eigenschap heeft noteren we als:
\( \mbox{cruc}(V(x)) \)
.[/size][/color]

Nu vraag ik mij af voor welke cruciale gepreciseerde veeltermen V(x) geldt dat alle daaraan verwante gepreciseerde veeltermen W(x) eveneens cruciaal zijn, waarbij ook nog geldt:
\( \dot{V}(0) = \dot{W}(0) \)
.

Is op een [/size]eenvoudige manier aan te geven aan welke voorwaarden zulke gepreciseerde veeltermen V(x) moeten voldoen, wil het bovenstaande voor alle aan V(x) verwante W(x) opgaan?
Omhoog

Bericht 03-08-'12, 10:14

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Onder welke voorwaarden geldt dit?

Volgens jouw definities is
\(x^2\)
geen gepreciseerde veelterm. Immers,
\((x) * (x)\)
is niet hetzelfde als
\((x^2)\)
.

Is dat ook de bedoeling?

Anders is het misschien handiger om i. en ii. te vervangen door het axioma "alle reële veeltermen in x zijn gepreciseerde veeltermen".
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 03-08-'12, 13:58

Bartjes

Re: Onder welke voorwaarden geldt dit?

Math-E-Mad-X schreef: ↑vr 03 aug 2012, 10:14
Volgens jouw definities is
\(x^2\)
geen gepreciseerde veelterm. Immers,
\((x) * (x)\)
is niet hetzelfde als
\((x^2)\)
.

Is dat ook de bedoeling?
In elk geval wil ik niet hebben dat: (0) . (0) = (0) , en ook wil ik niet dat deze twee verwant zijn.

Ik heb hier maar weinig speelruimte, omdat ik de resultaten van dit topic in mijn theorie van de formele en metaformele getallen wil gebruiken. Vandaar de vreemd aandoende definities. Wel probeer ik hier zo dicht mogelijk bij de algemeen bekende wiskunde aan te sluiten om de lezers de moeite van het bestuderen van de theorie van de formele en metaformele getallen te besparen.
Omhoog

Bericht 04-08-'12, 15:25

Bartjes

Re: Onder welke voorwaarden geldt dit?

Onder productieve veeltermen verstaan we gepreciseerde veeltermen V(x) van onderstaande vormen:

V(x) = (x) . (A(x)) of V(x) = (A(x)) . (x) ,

met rw(A(0)) [ongelijk] 0 .

STELLING. Alle productieve veeltermen zijn cruciaal.

Bewijs:

Stel dat V(x) een productieve veelterm is. Dan is V(x) van de vorm:

V(x) = (x) . (A(x)) of V(x) = (A(x)) . (x) ,

met rw(A(0)) [ongelijk] 0 .

Dan vinden we:
\( \mbox{rw}(V(0)) = \mbox{rw}((0) . (A(0)) \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \mbox{rw}(V(0)) = \mbox{rw}((A(0) . (0)) \)
.

Dus in beide gevallen geldt:
\( \mbox{rw}(V(0)) = \mbox{rw}(0) . \mbox{rw}(A(0)) \)
\( \mbox{rw}(V(0)) = 0 . \mbox{rw}(A(0)) \)
\( \mbox{rw}(V(0)) = 0 \)
.

Verder vinden we:
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}((x) . (A(x)))}{\mbox{d} x} \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}((A(x)) . (x))}{\mbox{d} x} \)
.

Dus in beide gevallen geldt:
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, ( \mbox{rw}(x) . \mbox{rw}(A(x)) ) }{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, ( x . \mbox{rw}(A(x)) ) }{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} x }{\mbox{d} x} \, . \, \mbox{rw}(A(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = 1 . \mbox{rw}(A(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = \mbox{rw}(A(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \)
.

Zodat:
\( \dot{V}(0) = \mbox{rw}(A(0)) \,\, + \,\, 0 \, . \, \left ( \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \right)_{x=0} \)
\( \dot{V}(0) = \mbox{rw}(A(0)) \)
\( \dot{V}(0) \neq 0 \)
.

Waarmee is bewezen dat V(x) cruciaal is.
Omhoog

Bericht 04-08-'12, 17:39

Bartjes

Re: Onder welke voorwaarden geldt dit?

Het is bij nader inzien handiger de volgende uitgebreidere stelling te gebruiken:

1. STELLING. Alle productieve veeltermen V(x) = (x) . (A(x)) of V(x) = (A(x)) . (x) zijn cruciaal, en er geldt:
\( \dot{V}(0) = \mbox{rw}(A(0)) \)
.

Bewijs:

Stel dat V(x) een productieve veelterm is. Dan is V(x) van de vorm:

V(x) = (x) . (A(x)) of V(x) = (A(x)) . (x) ,

met rw(A(0)) [ongelijk] 0 .

Dan vinden we:
\( \mbox{rw}(V(0)) = \mbox{rw}((0) . (A(0))) \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \mbox{rw}(V(0)) = \mbox{rw}((A(0)) . (0)) \)
.

Dus in beide gevallen geldt:
\( \mbox{rw}(V(0)) = \mbox{rw}(0) . \mbox{rw}(A(0)) \)
\( \mbox{rw}(V(0)) = 0 . \mbox{rw}(A(0)) \)
\( \mbox{rw}(V(0)) = 0 \)
.

Verder vinden we:
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}((x) . (A(x)))}{\mbox{d} x} \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}((A(x)) . (x))}{\mbox{d} x} \)
.

Dus in beide gevallen geldt:
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, ( \mbox{rw}(x) . \mbox{rw}(A(x)) ) }{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} \, ( x . \mbox{rw}(A(x)) ) }{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = \frac{\mbox{d} x }{\mbox{d} x} \, . \, \mbox{rw}(A(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = 1 . \mbox{rw}(A(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \)
\( \dot{V}(x) = \mbox{rw}(A(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \)
.

Zodat:
\( \dot{V}(0) = \mbox{rw}(A(0)) \,\, + \,\, 0 \, . \, \left ( \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \right)_{x=0} \)
\( \dot{V}(0) = \mbox{rw}(A(0)) \,\,\, \& \,\,\, \dot{V}(0) \neq 0 \)
.

Waarmee is bewezen dat V(x) cruciaal is, en dat:
\( \dot{V}(0) = \mbox{rw}(A(0)) \)
.
Omhoog

Bericht 04-08-'12, 20:49

Bartjes

Re: Onder welke voorwaarden geldt dit?

Nu krijgen we het eerste bruikbare resultaat:

2. STELLING. Voor alle cruciale gepreciseerde veeltermen V(x) die tevens productieve veeltermen zijn, geldt dat alle daaraan verwante gepreciseerde veeltermen W(x) eveneens cruciaal en productief zijn. Daarbij geldt ook nog:

\( \dot{W}(0) = \dot{V}(0) \)
[/color]

Bewijs:

Stel dat V(x) een productieve veelterm is. Dan is V(x) van de vorm:

V(x) = (x) . (A(x)) of V(x) = (A(x)) . (x) ,

met rw(A(0)) [ongelijk] 0 .

Laat vervolgens W(x) een aan V(x) verwante gepreciseerde veelterm zijn. Volgens de definitie van verwante gepreciseerde veeltermen kan het aan E(x) identieke stukje van V(x) dan alleen A(x) of een deel daarvan zijn. Bijgevolg zijn aan V(x) verwante gepreciseerde veeltermen steeds van de vorm:

W(x) = (x) . (B(x)) of W(x) = (B(x)) . (x) ,

met rw(B(0)) = rw(A(0)) [ongelijk] 0 .

Dus zijn de W(x) steeds productief.

We zien dat:
\( \mbox{rw}(W(x)) = \mbox{rw}((x) . (B(x))) \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \mbox{rw}(W(x) = \mbox{rw}((B(x)) . (x)) \)
.

Dus in beide gevallen geldt:
\( \mbox{rw}(W(x)) = \mbox{rw}(x) . \mbox{rw}(B(x)) \)
\( \mbox{rw}(W(0)) = \mbox{rw}(0) . \mbox{rw}(B(0)) \)
\( \mbox{rw}(W(0)) = 0 . \mbox{rw}(B(0)) \)
\( \mbox{rw}(W(0)) = 0 \)
.

Verder vinden we:
\( \dot{W}(x) = \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}((x) . (B(x)))}{\mbox{d} x} \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \dot{W}(x) = \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}((B(x)) . (x))}{\mbox{d} x} \)
.

Dus in beide gevallen geldt:
\( \dot{W}(x) = \frac{\mbox{d} \, ( \mbox{rw}(x) . \mbox{rw}(B(x)) ) }{\mbox{d} x} \)
\( \dot{W}(x) = \frac{\mbox{d} \, ( x . \mbox{rw}(B(x)) ) }{\mbox{d} x} \)
\( \dot{W}(x) = \frac{\mbox{d} x }{\mbox{d} x} \, . \, \mbox{rw}(B(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(A(x))}{\mbox{d} x} \)
\( \dot{W}(x) = 1 . \mbox{rw}(A(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(B(x))}{\mbox{d} x} \)
\( \dot{W}(x) = \mbox{rw}(B(x)) \,\, + \,\, x \, . \, \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(B(x))}{\mbox{d} x} \)
.

Zodat:
\( \dot{W}(0) = \mbox{rw}(B(0)) \,\, + \,\, 0 \, . \, \left ( \frac{\mbox{d} \, \mbox{rw}(B(x))}{\mbox{d} x} \right)_{x=0} \)
\( \dot{W}(0) = \mbox{rw}(B(0)) \)
\( \dot{W}(0) = \mbox{rw}(A(0)) \)
\( \dot{W}(0) \neq 0 \,\,\, \& \,\,\, \dot{W}(0) = \dot{V}(0) \)
.

Waarmee is bewezen dat ook W(x) cruciaal is, en dat:
\( \dot{W}(0) = \dot{V}(0) \)
.
Omhoog

Bericht 04-08-'12, 21:27

Bartjes

Re: Onder welke voorwaarden geldt dit?

De eerste regel van het bewijs uit het vorige berichtje:

“Stel dat V(x) een productieve veelterm is.”,

moet zijn:

“Stel dat V(x) een productieve (en dus ook cruciale) veelterm is.”



En in deze regel uit het bewijs ontbreekt een haakje:

\(\mbox{rw}(W(x)) = \mbox{rw}((x) . (B(x))) \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \mbox{rw}(W(x) = \mbox{rw}((B(x)) . (x)) \)
.[/color]

Het moet zijn:

\(\mbox{rw}(W(x)) = \mbox{rw}((x) . (B(x))) \,\,\, \mbox{of} \,\,\, \mbox{rw}(W(x)) = \mbox{rw}((B(x)) . (x)) \)
[/color]



Ik zag de fouten te laat.
Omhoog

Bericht 05-08-'12, 10:34

Bartjes

Re: Onder welke voorwaarden geldt dit?

Bartjes schreef: ↑do 02 aug 2012, 20:48
Nu vraag ik mij af voor welke cruciale gepreciseerde veeltermen V(x) geldt dat alle daaraan verwante gepreciseerde veeltermen W(x) eveneens cruciaal zijn, waarbij ook nog geldt:
\( \dot{V}(0) = \dot{W}(0) \)
.
[/size]

Om niet steeds dit hele verhaal te hoeven vertellen noemen we alleen die cruciale gepreciseerde veeltermen V(x) waardevast waarvoor geldt dat alle daaraan verwante gepreciseerde veeltermen W(x) eveneens cruciaal zijn, waarbij voor zulke W(x) ook nog geldt:
\( \dot{W}(0) = \dot{V}(0) \)
.[/size]
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”