Springen naar inhoud

Rijen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2012 - 13:55

"Veronderstel dat (Xn)n ∈ N een rij is waarvan je de eerste 7 termen (dus x0 t.e.m. x6) kent, namelijk:

(2, 7, 14, 23, 34, 47, 62, ...)

Geef een expliciete formule voor de algemene term Xn in functie van n die verenigbaar is met de 'start' van deze rij. Is dergelijke formule unieke ?"

Ik ben tot de volgende formule gekomen

Xn= n2 +4n + 2

Maar indien we de rij zouden laten beginnen vanaf x1 i.p.v. x0 met x1 = 2, zou volgende formule ook gaan:

Xn = n2 + 2n - 1

Mijn vraag is nu:

Is dergelijke formule dus uniek of niet ?

Alvast bedankt!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2012 - 14:03

Stel dat je een veelterm neemt van graad n. Door hoeveel willekeurig vastgelegde punten (xi,yi) kan je die laten gaan?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#3

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2012 - 14:15

Nee dat is hij niet.

Als je er nog een term aan vast plakt dan zal de formule anders worden tenzij je er de passende aan vast plakt.

PS. Je rij in rekenkundig en van de tweede orde.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2012 - 14:56

Stel dat je een veelterm neemt van graad n. Door hoeveel willekeurig vastgelegde punten (xi,yi) kan je die laten gaan?


Intuïtief zou ik zeggen n + 1 ?

Nee dat is hij niet.

Als je er nog een term aan vast plakt dan zal de formule anders worden tenzij je er de passende aan vast plakt.

PS. Je rij in rekenkundig en van de tweede orde.


Ik denk wel dat het de bedoeling is om in de 'passende trend' verder te gaan. Ik vroeg mij gewoon af of het voorschrift uniek is m.b.t. de gegeven rij. Stel nu dat gegeven is dat we bij X0 beginnen, dan vermoed ik dat het voorschrift effectief uniek is; als we ook bij X1 mogen beginnen verandert dit voorschrift uiteraard, maar levert het wel dezelfde rij op. Is het duidelijk wat ik bedoel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2012 - 15:11

Misschien is de vraagstelling onvolledig geweest en bedoelde je dat het voorschrift perse een polynoom moet zijn en of in dit geval die kwadratische vorm die je gaf de laagst mogelijk graad en uniek is?


Wat bedoel je eigenlijk met de meest passende trend, dat begrip is denk ik niet vastgelegd?

1, 4 ,.... geeft:

1, 4 , 7 , 10 ???
1, 4 , 9 , 25 ???
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2012 - 15:57

Intuïtief zou ik zeggen n + 1 ?

Inderdaad. De termen in jouw rij kan je zien als zulke punten
(2,1), (7,2),(14,3),(23,4),...

Zo zijn er jouw 7 punten gegeven. Als je nu een 8e graad polynoom of hoger neemt. Heb je meer dan 7 parameters die je kan kiezen, zodat je polynoom door die 7 punten gaat. Hoeveel oplossingen zijn er voor zo'n stelsel (7 vergelijkingen met meer dan 7 variabelen)?

Edit: Ik zie zojuist dat de elementen van de rij gehele getallen moeten zijn. Bovenstaande zal dus niet rechtstreeks werken.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2012 - 08:54

Wel, een stelsel van 7 vergelijkingen met meer dan 7 variabelen heeft oneindig veel oplossingen.
Je kan inderdaad het functie voorschrift van een rij zien als een polynoom; maar hoe verwerk je dan (zoals u al opmerkte) het feit erin dat we werken met gehele getallen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 augustus 2012 - 09:25

Je zou dat kunnen oplossen met de floor, of ceil functie; LaTeX of LaTeX
Maar ik vermoed dat dat niet hetgene is waarnaar de makers van de vraag op zoek zijn.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 augustus 2012 - 09:40

Iets wat nog niet is opgemerkt, maar in mijn ogen ook wel vrij belangrijk is:

Ik ben tot de volgende formule gekomen

Xn= n2 +4n + 2

Maar indien we de rij zouden laten beginnen vanaf x1 i.p.v. x0 met x1 = 2, zou volgende formule ook gaan:

Xn = n2 + 2n - 1

Deze 2 formules zijn inderdaad wel dezelfde formule. Hoe je dat kunt inzien: de eerste kun je herschrijven naar Xn = (n + 2)² - 2 en de tweede naar Xn = (n + 1)² - 2. Zie je waarom ze dezelfde formule zijn eigenlijk, of dus hoe je van de ene naar de andere gaat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2012 - 10:00

Wel, een stelsel van 7 vergelijkingen met meer dan 7 variabelen heeft oneindig veel oplossingen.
Je kan inderdaad het functie voorschrift van een rij zien als een polynoom; maar hoe verwerk je dan (zoals u al opmerkte) het feit erin dat we werken met gehele getallen ?


Een rij in een functie (een deel) van Z naar R.

Het Domein van het functie voorschrift is dus veel beperkter als je gewend bent.


Nietemin kan men aan LaTeX wel een betekenis toekennen.

Namelijk een geinterpoleerde term tussen LaTeX

Deze interpolatie moet dan wel aan voorwaarden voldoen.

Veranderd door tempelier, 07 augustus 2012 - 10:01

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2012 - 10:42

Je zou dat kunnen oplossen met de floor, of ceil functie; LaTeX

of LaTeX
Maar ik vermoed dat dat niet hetgene is waarnaar de makers van de vraag op zoek zijn.


Ik vermoed ook van niet, toch bedankt voor de poging!

Een rij in een functie (een deel) van Z naar R.

Het Domein van het functie voorschrift is dus veel beperkter als je gewend bent.


Nietemin kan men aan LaTeX

wel een betekenis toekennen.

Namelijk een geinterpoleerde term tussen LaTeX

Deze interpolatie moet dan wel aan voorwaarden voldoen.


Ook u gaat het volgens mij te ver zoeken tempelier. :D

Iets wat nog niet is opgemerkt, maar in mijn ogen ook wel vrij belangrijk is:

Deze 2 formules zijn inderdaad wel dezelfde formule. Hoe je dat kunt inzien: de eerste kun je herschrijven naar Xn = (n + 2)² - 2 en de tweede naar Xn = (n + 1)² - 2. Zie je waarom ze dezelfde formule zijn eigenlijk, of dus hoe je van de ene naar de andere gaat?


Aha, ja als je het zo schrijft is het inderdaad duidelijk. Ze zijn eigenlijk dezelfde formule omdat 'de verschuiving' in indices eigenlijk wordt opgevangen door de ' + 2'; dus m.a.w. zo een formule voor een rij is wel uniek ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 augustus 2012 - 13:14

dus m.a.w. zo een formule voor een rij is wel uniek ?

Daaromtrent even een vraag: moeten de termen gehele (natuurlijke) getallen zijn, of is dat gewoon een verwachting die "we" maken uit de eerste 7 termen? Want in mijn ogen is er niets dat ons zegt dat X8, bijv., een geheel getal moet zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 augustus 2012 - 14:48

Zelfs al moeten de volgende getallen geheel zijn, zijn er nog meerdere oplossingen die enkel een polynoom gebruiken.
Neem bijvoorbeeld
LaTeX
Dit geeft de volgende rij {2,7,14,23,34,47,62,5119,40418,...}

Ik weet wel niet of het algemeen geldig is; bestaan er voor elke rij gehele getallen meerdere interpolerende polynomen met gehele coëfficiënten (van willekeurige graad)? Of hoe je moet aantonen dat er in dit geval een andere oplossing is, zonder die effectief te moeten uitrekenen.

Wordt er eigenlijk verder ook verondersteld in de cursus dat je enkel mag werken met polynomen voor de rij? Er zijn namelijk ook andere functies mogelijk om te interpoleren tussen de gegeven punten. De sinc is bijvoorbeeld een makkelijke, als je die kent.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#14

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2012 - 11:01

Zelfs al moeten de volgende getallen geheel zijn, zijn er nog meerdere oplossingen die enkel een polynoom gebruiken.
Neem bijvoorbeeld
LaTeX


Dit geeft de volgende rij {2,7,14,23,34,47,62,5119,40418,...}

Ik weet wel niet of het algemeen geldig is; bestaan er voor elke rij gehele getallen meerdere interpolerende polynomen met gehele coëfficiënten (van willekeurige graad)?


Ik dacht dat dit het wel deed [2,7,14,23,34,47,62, 5040p-4961] met p geheel.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures