Springen naar inhoud

Oefening i.v.m. een continue functie



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2012 - 21:32

"Beschouw de functie

f: R2 -> R: (x, y) |->
LaTeX als (x, y) ≠ (0, 0)
LaTeX als (x, y) = (0, 0)

Toon aan dat f voor geen enkele waarde van LaTeX ∈ R continue is in (0, 0)."

Weet iemand hoe ik dit het beste kan bewijzen ?
Ik dacht er persoonlijk aan om een rij te kiezen (Xk, Yk)k ∈ N die naar (0, 0) convergeert (waarvoor (Xk, Yk) ≠ (0, 0) ∀k ∈ N) en waarvan de beeldrij uiteindelijk niet convergeert wanneer we deze in het voorschrift LaTeX invullen. Iemand een idee ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2012 - 21:51

Je moet tonen dat de limiet van f in (0,0) niet bestaat; bijvoorbeeld via rijen of gewoon door onmiddellijk twee paden te kiezen langs waar f een verschillende limiet heeft.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2012 - 21:52

Ken je de def. van continuiteit uitgedrukt met limieten?
---
f is continu in het punt c desda LaTeX
---
Kan je nu verder? EDIT: TD was sneller
(maar je suggestie was inderdaad in de juiste richting, uit die divergentie volgt onmiddelijk dat de limiet niet bestaat)

Veranderd door Axioma91, 09 augustus 2012 - 22:00


#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2012 - 08:33

Volgens de manier waarop mijn cursus is opgebouwd lijkt het mij het beste om het dus inderdaad via de definitie van continuïteit uitgedrukt met limieten te doen.
Maar hoe vind ik twee passende rijen ? Hoe weet ik of deze bestaan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2012 - 09:05

Begin met het pad x=0, de bijbehorende rij is dan wel de meest simpele die er is.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2012 - 12:13

Maar hoe vind ik twee passende rijen ? Hoe weet ik of deze bestaan ?


Daar is geen 'standaardrecept' voor. Goede eerste keuzes zijn x=0 en dan een keer y=0 en bijvoorbeeld de (andere) rechten door de oorsprong; voor deze opgave volstaat dat ook.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2012 - 18:12

Begin met het pad x=0, de bijbehorende rij is dan wel de meest simpele die er is.


De bijhorende rij ?

Daar is geen 'standaardrecept' voor. Goede eerste keuzes zijn x=0 en dan een keer y=0 en bijvoorbeeld de (andere) rechten door de oorsprong; voor deze opgave volstaat dat ook.


Wat bedoel je net ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2012 - 18:45

De bijhorende rij ?


Dat is een nul rij immers op dit pad zijn alle waarde nul.

Je zit op de Yas welke rij je ook bedenkt die naar (0,0) gaat het is ALTIJD de nul rij.


Maar als je perse een rij wilt vastleggen (wat eigenlijk overbodig is)
Begin dan in y=1 dit geeft de term t_1=0 en ga verder met y=1/2 , y=1/3 , y=1/4 ,,,,,,,,, y=1/n

Voor al deze y's heeft de reeks dan de waarde 0.


Bedenk nu eens hoe dit loopt op het pad x=y.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 augustus 2012 - 00:12

Wat bedoel je net ?


Je weet dat een limiet in meerdere variabelen slechts bestaat indien de limiet onafhankelijk is van het pad waarlangs je de limiet bepaalt?
Bijvoorbeeld zijn (t,0) en (0,t) met resp. telkens t naar 0 twee paden die hier allebei limiet 0 geven in (0,0). Maar je kan ook via (t,t) (de eerste bissectrice y=x) naar (0,0) naderen, dat geeft...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 08:53

Dat is een nul rij immers op dit pad zijn alle waarde nul.

Je zit op de Yas welke rij je ook bedenkt die naar (0,0) gaat het is ALTIJD de nul rij.


Maar als je perse een rij wilt vastleggen (wat eigenlijk overbodig is)
Begin dan in y=1 dit geeft de term t_1=0 en ga verder met y=1/2 , y=1/3 , y=1/4 ,,,,,,,,, y=1/n

Voor al deze y's heeft de reeks dan de waarde 0.


Bedenk nu eens hoe dit loopt op het pad x=y.


Puur grafisch gezien kan ik het me wel voorstellen, maar dat is niet waar je net op doelt vermoed ik ?

Je weet dat een limiet in meerdere variabelen slechts bestaat indien de limiet onafhankelijk is van het pad waarlangs je de limiet bepaalt?
Bijvoorbeeld zijn (t,0) en (0,t) met resp. telkens t naar 0 twee paden die hier allebei limiet 0 geven in (0,0). Maar je kan ook via (t,t) (de eerste bissectrice y=x) naar (0,0) naderen, dat geeft...?


Dat geeft ook limiet 0 in (0, 0) met bv. t = 1/n (met n ∈ N)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 09:05

Dat geeft ook limiet 0 in (0, 0) met bv. t = 1/n (met n ∈ N)

Dat zou ik toch nog eens nakijken :)... Je hebt het toch over (t, t) naar (0, 0) naderen hè? Dat geeft niet 0.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 09:13

Puur grafisch gezien kan ik het me wel voorstellen, maar dat is niet waar je net op doelt vermoed ik ?



Ja en nee, bekijk dan een deze rij.

LaTeX

Dan is dit toch de nulrij

Veranderd door tempelier, 13 augustus 2012 - 09:16

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 09:38

Ja en nee, bekijk dan een deze rij.

LaTeX



Dan is dit toch de nulrij


Klopt, want Lim n -> oo (0, 1/n) = (0, 0)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 10:06

Klopt, want Lim n -> oo (0, 1/n) = (0, 0)


Dat staat er niet helemaal goed maar zal wel goed bedoeld zijn dus dit.

LaTeX

-----------------------------------------------------

En deze dan: LaTeX

Veranderd door tempelier, 13 augustus 2012 - 10:08

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 augustus 2012 - 10:08

Dat geeft ook limiet 0 in (0, 0) met bv. t = 1/n (met n ∈ N)


Nee, dat klopt niet: wat is het beeld van (t,t)? Of dat nu met t = 1/n en is of met ....
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures