[wiskunde] Oefening i.v.m. een continue functie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 09-08-'12, 22:32

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Oefening i.v.m. een continue functie

"Beschouw de functie

f: R2 -> R: (x, y) |->
\( \frac {xy} {x^2 + y^2^} \)
als (x, y) ≠ (0, 0)
\( \alpha \)
als (x, y) = (0, 0)

Toon aan dat f voor geen enkele waarde van
\( \alpha \)
∈ R continue is in (0, 0)."

Weet iemand hoe ik dit het beste kan bewijzen ?

Ik dacht er persoonlijk aan om een rij te kiezen (Xk, Yk)k ∈ N die naar (0, 0) convergeert (waarvoor (Xk, Yk) ≠ (0, 0) ∀k ∈ N) en waarvan de beeldrij uiteindelijk niet convergeert wanneer we deze in het voorschrift
\( \frac {xy} {x^2 + y^2^} \)
invullen. Iemand een idee ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 09-08-'12, 22:51

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Je moet tonen dat de limiet van f in (0,0) niet bestaat; bijvoorbeeld via rijen of gewoon door onmiddellijk twee paden te kiezen langs waar f een verschillende limiet heeft.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-08-'12, 22:52

Axioma91

Berichten: 264

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Ken je de def. van continuiteit uitgedrukt met limieten?

---

f is continu in het punt c desda
\( \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \)
---

Kan je nu verder? EDIT: TD was sneller

(maar je suggestie was inderdaad in de juiste richting, uit die divergentie volgt onmiddelijk dat de limiet niet bestaat)
Omhoog

Bericht 10-08-'12, 09:33

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Volgens de manier waarop mijn cursus is opgebouwd lijkt het mij het beste om het dus inderdaad via de definitie van continuïteit uitgedrukt met limieten te doen.

Maar hoe vind ik twee passende rijen ? Hoe weet ik of deze bestaan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 10-08-'12, 10:05

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Begin met het pad x=0, de bijbehorende rij is dan wel de meest simpele die er is.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 10-08-'12, 13:13

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Biesmansss schreef: ↑vr 10 aug 2012, 09:33
Maar hoe vind ik twee passende rijen ? Hoe weet ik of deze bestaan ?


Daar is geen 'standaardrecept' voor. Goede eerste keuzes zijn x=0 en dan een keer y=0 en bijvoorbeeld de (andere) rechten door de oorsprong; voor deze opgave volstaat dat ook.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 10-08-'12, 19:12

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

tempelier schreef: ↑vr 10 aug 2012, 10:05
Begin met het pad x=0, de bijbehorende rij is dan wel de meest simpele die er is.
De bijhorende rij ?
TD schreef: ↑vr 10 aug 2012, 13:13
Daar is geen 'standaardrecept' voor. Goede eerste keuzes zijn x=0 en dan een keer y=0 en bijvoorbeeld de (andere) rechten door de oorsprong; voor deze opgave volstaat dat ook.
Wat bedoel je net ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 10-08-'12, 19:45

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Biesmansss schreef: ↑vr 10 aug 2012, 19:12
De bijhorende rij ?
Dat is een nul rij immers op dit pad zijn alle waarde nul.

Je zit op de Yas welke rij je ook bedenkt die naar (0,0) gaat het is ALTIJD de nul rij.

Maar als je perse een rij wilt vastleggen (wat eigenlijk overbodig is)

Begin dan in y=1 dit geeft de term t_1=0 en ga verder met y=1/2 , y=1/3 , y=1/4 ,,,,,,,,, y=1/n

Voor al deze y's heeft de reeks dan de waarde 0.

Bedenk nu eens hoe dit loopt op het pad x=y.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 11-08-'12, 01:12

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Biesmansss schreef: ↑vr 10 aug 2012, 19:12
Wat bedoel je net ?


Je weet dat een limiet in meerdere variabelen slechts bestaat indien de limiet onafhankelijk is van het pad waarlangs je de limiet bepaalt?

Bijvoorbeeld zijn (t,0) en (0,t) met resp. telkens t naar 0 twee paden die hier allebei limiet 0 geven in (0,0). Maar je kan ook via (t,t) (de eerste bissectrice y=x) naar (0,0) naderen, dat geeft...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 09:53

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

tempelier schreef: ↑vr 10 aug 2012, 19:45
Dat is een nul rij immers op dit pad zijn alle waarde nul.

Je zit op de Yas welke rij je ook bedenkt die naar (0,0) gaat het is ALTIJD de nul rij.

Maar als je perse een rij wilt vastleggen (wat eigenlijk overbodig is)

Begin dan in y=1 dit geeft de term t_1=0 en ga verder met y=1/2 , y=1/3 , y=1/4 ,,,,,,,,, y=1/n

Voor al deze y's heeft de reeks dan de waarde 0.

Bedenk nu eens hoe dit loopt op het pad x=y.
Puur grafisch gezien kan ik het me wel voorstellen, maar dat is niet waar je net op doelt vermoed ik ?
TD schreef: ↑za 11 aug 2012, 01:12
Je weet dat een limiet in meerdere variabelen slechts bestaat indien de limiet onafhankelijk is van het pad waarlangs je de limiet bepaalt?

Bijvoorbeeld zijn (t,0) en (0,t) met resp. telkens t naar 0 twee paden die hier allebei limiet 0 geven in (0,0). Maar je kan ook via (t,t) (de eerste bissectrice y=x) naar (0,0) naderen, dat geeft...?
Dat geeft ook limiet 0 in (0, 0) met bv. t = 1/n (met n ∈ N)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 10:05

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Biesmansss schreef: ↑ma 13 aug 2012, 09:53
Dat geeft ook limiet 0 in (0, 0) met bv. t = 1/n (met n ∈ N)
Dat zou ik toch nog eens nakijken :) ... Je hebt het toch over (t, t) naar (0, 0) naderen hè? Dat geeft niet 0.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 10:13

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Biesmansss schreef: ↑ma 13 aug 2012, 09:53
Puur grafisch gezien kan ik het me wel voorstellen, maar dat is niet waar je net op doelt vermoed ik ?
Ja en nee, bekijk dan een deze rij.
\( t_n = f\biggr(0, \frac{1}{n}\biggr)\quad n= 1\; ,\; 2\; ,\; 3\; \;,4\; , .......... \)
Dan is dit toch de nulrij
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 10:38

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

tempelier schreef: ↑ma 13 aug 2012, 10:13
Ja en nee, bekijk dan een deze rij.
\( t_n = f\biggr(0, \frac{1}{n}\biggr)\quad n= 1\; ,\; 2\; ,\; 3\; \;,4\; , .......... \)
Dan is dit toch de nulrij
Klopt, want Lim n -> oo (0, 1/n) = (0, 0)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 11:06

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Biesmansss schreef: ↑ma 13 aug 2012, 10:38
Klopt, want Lim n -> oo (0, 1/n) = (0, 0)
Dat staat er niet helemaal goed maar zal wel goed bedoeld zijn dus dit.
\(\displaystyle \lim_{n \to 0} f(1/n , 1/n ) = 0 \quad (t_\infty =0)\)
-----------------------------------------------------

En deze dan:
\( u_n = f\biggr(\frac{1}{n} ,\; \frac{1}{n}\biggr)\quad n= 1\; ,\; 2\; ,\; 3\; \;,4\; , ..........\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 13-08-'12, 11:08

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oefening i.v.m. een continue functie

Biesmansss schreef: ↑ma 13 aug 2012, 09:53
Dat geeft ook limiet 0 in (0, 0) met bv. t = 1/n (met n ∈ N)


Nee, dat klopt niet: wat is het beeld van (t,t)? Of dat nu met t = 1/n en is of met ....
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”